文档介绍：《一个单摆问题的四类解法》
长沙市实验中学周煌军 **********
某一次段考物理试卷的最后一题是一个单摆问题,题目如下:
如图(a)所示,一只昆虫水平飞向一个原来静止悬挂着的单摆,并抱住摆球,结果使单摆做简谐运动,其振动图象如图(b)所示,已知摆球的质量是昆虫质量的5倍,求:昆虫飞来时速度的大小.
学生考完后向老师诉苦,有的说题目给的条件不够,有的说计算量太大,根本无法求出结果。我搜集了阅卷过程中发现的学生的几种正确解法,又和一些学生、老师继续讨论,得到了8种不同的解法,笔者归纳为四类:
一、常规解法:设昆虫飞来的速度为,单摆运动在平衡位置的速度为
由(b)图可知,单摆运动的振幅为A=,周期为T=4s
由公式得:
  由于很小,,
图1
由机械能守恒定律得:
由动量守恒得: 即:
综合以上各式解得:
【点评】先求出摆角,再求出最低点与最高点的高度差,最后利用机械能守恒和动量守恒求速度。这种思路很熟悉,但计算量很大,不借助计算器很难得到最终结果。于是就出现了学生诉苦说题目给的条件不够(例如g的取值未知)以及无法求出结果(根式里面还有根式)。实际上,如果灵活运用数学知识,可以快速求解。
二、解三角形法:为求得摆球从最低点到最高点过程中上升的高度,如图2,根据余弦定理有:
图2
得:
由机械能守恒有:, 得:
由动量守恒得: 即:
【点评】①用勾股定理也可以直接求h,如图2:
图3
, 得:
②为求得h,也可以作辅助线,利用相似三角形求解,
如图3,作,,根据,
有:,得:
三、求导法:由(b)图写出振动方程:
上式对时间求导,得到速度随时间的表达式: m/s
由动量守恒得: 即:
【点评】若已知简谐运动的振幅为A,周期为T,则振子经过平衡位置的最大速度为:
四、类比弹簧振子法:做简谐运动的单摆系统的机械能守恒,通过回复力做功,动能与势能相互转化。回复力,
即回复力大小满足: ,其中
摆球从最低点运动到最高点过程中,克服回复力做功为:
由动能定理有:得:
由动量守恒得: 即:
【点评】做简谐运动的单摆,取平衡位置为零势能位置,则单摆系统的总机械能可表示
为:,其中,这与水平弹簧振子系统是类似的。