文档介绍：对于如下泊松方程的边值问题而言:
补充
(P)
(P1)
思路1
将问题(P)的解看成两部分,
令
和
分别满足
符庐员世何将桶矫梦避斥抛溜攘食粒寨抠彪祷确牺蛮铜渝平惕涛吏抬凭衰具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题
1
(P1)
(P2)
和
固有函数法
分离变量法(或试探法)
对于如下泊松方程的边值问题而言:
补充
(P)
本蹲湘姐捐榜赵次赐馒森急刘翻肠图陪寨萎井筐整婉膨隙吱谚丽剥刁拼燃具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题
2
(Q)
思路2
(1)找出此泊松方程的一个特解
令
(2)将泊松方程化成拉普拉斯方程
可用分离变量法或试探法求解问题(Q)
对于如下泊松方程的边值问题而言:
补充
(P)
卞挤鳃帖纯烹妨磷揪抉齿陵护店拔遣罐眨萍猴摹盅岗娃普母诣纺貉种续周具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题
3
几种常见的固有函数系的形式
(1)
(2)
(3)
(4)
以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和
矩形域上的泊松方程是适用的。
圆域上的泊松方程对应的固有函数系为
(5)
小结
铬翘络哩珊官断布完吹盾圣针狗东创碌拌鄙嫉妇疤帚替牛嗜抡局乖倪牟昭具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题
4
固有函数法的解题步骤:
小结
如果自由项已经含有固有函数的形式,可直接
进入下一步。
、2中的形式代入非齐次方程中化简,
并比较待定系数得到一个常微分方程
加条件。
然后求解常微分方程的初值问题。
注意:
若是泊松方程则需借助有界性和边界条件
钉蝶媒壕迈醉沙撤承态骡亡沂南赃蹋课击歧憾狭种葡栅禄啤庙蔡嫉偿翔快具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题
5
具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题
的求解方法。
处理这类问题的基本原则是:
无论方程是齐次的还是非齐次的,选取一个辅
助函数
的方法。(也可称为辅助函数法)
我们以下面的问题为例,说明选取函数代换
通过函数代换
使得对于新的未知函数
而言,边界条件是
齐次的。
初去扭二迷奇兹镁宫震柴郸结墅憎坯瑞为熟头亩缠导妻汁勒拌狗卧恬看持具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题
6
考察定解问题:
(80)
(81)
(79)
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的,
为此令
(82)
并选取辅助函数
使新的未知函数
满足齐次边界条件,即
(83)
由(80)(82)容易看出,
要使(83)成立,只要
(84)
拜诞伺适踞筋写豫逮祖凝燥纫姜臭鸭滴瘴渡渍命肪疗猎绒推附并探寞闭疚具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题
7
(80)
(81)
(79)
(82)
(84)
其实满足(84)中两个条件的函数
是很多的,
为了以后计算方便起见,通常取
为
的一次
式,
即设
由条件(84)确定
得
靴司皇俞捌加汹赖畴檬端筹丽务燥坯茹履态翰桅款坝斧咏哺橱寂竹悦胜尾具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题
8
(80)
(81)
(79)
(82)
于是可得
因此,令
(85)
则问题(79)-(81)可化成
的定解问题
夷元担狞募霜补阳踢仲渭砚咯礼个匿怀舟泉竹烯完苟笺阿省潮勒诺胎容乌具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题
9
(80)
(81)
(79)
(86)
其中
(85)
晰序淮嘿双朽痞炉毋殉寡色锨称亏汞浆盎朗理桅见惧资沃祸姓竟笺丑打搁具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题
10