文档介绍：MATLAB
ODE初值问题的数值解
PDE问题的数值解
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问题提出
,可以利用圆柱体体积公式
其中直径D为常数.
对于几何形状不是规则的容器,比如倒葫芦形状容器壁上如何标出刻度呢?下表是经过测量得到部分容器高度与直径的关系.
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x
1
o
根据上表的数据,可以拟合出倒葫芦形状容器的图,建立如图所示的坐标轴,问题为如何根据任意高度x标出容器体积V的刻度,由微元思想分析可知
H 0
D
其中x表示高度,直径D是高度x的函数,记为D(x).
x
1
o
3
只要求解上述方程,就可求出体积V与高度x之间的函数关系,从而可标出容器壁上容积的刻度,但问题是函数D(x)无解析表达式,无法求出其解析解.
因此, 得到如下微分方程初值问题
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包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。
在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。
自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。
微分方程分类
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事实上,从实际问题当中抽象出来的微分方程,通常主要依靠数值解法来解决。
可以证明: 如果函数在带形区域 R=a≤x≤b,
-∞<y<∞}内连续,且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件,即存在常数L(它与x,y无关)使
对R内任意两个都成立,则方程的解
在a, b上存在且唯一。
在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。
主要讨论一阶常微分方程初值问题
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微分方程数值方法的基本思想
对常微分方程初值问题的数值解法,就是要算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点

处的函数值
相邻两个节点的间距称为步长,步
长可以相等,也可以不等。假定h为定数,称为定步长,这时节点可表示为
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