文档介绍：北京师范大学
博士研究生学位论文开题报告
题目带移民的催化分枝过程与仿射过程
研究生姓名
学号
导师姓名、职称李增沪教授
系所数学科学学院
专业概率论与数理统计
研究方向马氏过程
一、立论依据
(选题的研究意义、国内外研究现状分析)
分枝过程是概率理论研究中活跃而富有成果的分支之一. 离散时间离散状态 Galton-Waston 过程(GW-过程) 是最简单的分枝过程. 它是描述粒子群体发展演化的数学模型. 如改变时间尺度并令粒子质量以适当方式趋于0, 则Feller (1951) 指出 GW-过程趋于一类扩散过程. Jiřina (1958) 称后者为连续时间连续状态的分枝过程(简称CB-过程). Watanabe (1969) 给出了CB-过程分枝特征的一般刻画. Kawazu 与 Watanabe (1971) 定义了相应的移民过程(CBI-过程), 并指出 CBI-过程也可由带移民GW-过程(GWI-过程) 经过重整化取极限得到. 此后, 诸多学者在这一领域取得了大量成果. 关于分枝过程的各种极限定理(包括极限分布, 条件极限分布等), 参见 Athreya 与 Ney (1972), Pinsky (1971), Pakes (1998, 1999) 及 Li (2000a). 关于分枝过程与 Lévy 过程、O-U 型过程的联系, 参见 Le Gall 与 Le Jan (1998a,b), Li(2000). 关于利用非Lipschitz 系数的随机方程构造 CBI-过程, 参见 Ikeda 与 Watanabe (1989), Dawson 与Li (2006), Lambert~(2007). 关于分枝过程在金融数学上的应用, 参见 Cox 等(1985), Duffie 等(2003). 等等.
经典分枝过程的基本假定是每个粒子按照相同的概率分布彼此独立的进行分枝, 这给数学上的处理和模型的简化带来极大的方便. 然而从生物种群的建模来看, 上述假定并不符合实际背景. 因为在大多数情况下, 群体的分枝演化过程都会受到个体间相互作用的影响. 解决这一问题的自然想法是以经典的分枝过程为基础, 构造更为一般的具有相互作用的分枝过程. 在众多扩展模型中, 催化分枝过程是近十年来广为关注的一个课题. Dawson 与 Fleischmann (1997) 首次引入测度值意义下的催化分枝过程. 此后多位学者对它进行了深入的研究; 参见有关综述性文章 Dawson与Fleischmann (2000, 2002) 以及Klenke (2000). 这类分枝过程源于生物学和化学中催化反应的建模. 在催化反应中通常有两类粒子, 我们分别称为催化粒子和反应粒子. 催化粒子自身分枝演化的同时, 对反应粒子进行催化, 加快反应粒子的分枝速度. 按照这一思想, Dawson 与 Li (2006) 通过证明一类随机积分方程具有唯一强解构造了所谓催化CBI-过程. 简单地讲, 此类过程的第一个坐标作为催化物过程, 是一个通常的CBI-过程; 第二个坐标作为反应物过程, 是一个分支率受前者控制的~CBI-过程. 一个简单的例子由以下随机方程给出
与(1)
其中, 为常数, 与是两个一