文档介绍：函数的极值
主讲人:09数本二班李莉
函数极值的概念
函数极值的求法
函数极值的概念
设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续, x0 是(a , b)内一点
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ,
均有 f ( x ) < f ( x0 ),
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值,
点 x0 是 f ( x )的一个极大点;
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ,
均有 f ( x ) > f ( x0 ),
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值,
点 x0 是 f ( x )的一个极小点;
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取得极值的必要条件:
如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值,且 f (x0)存在,则必有 f (x0)0。
驻点:使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。
说明:
可导函数 f(x)的极值点必定
是函数的驻点。但函数 f(x)的驻
点却不一定是极值点。
x
y
O
f(x)x3
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
f (x1)=0
x2
f (x2)=0
x3
f (x3)=0
x4
f (x5)=0
x5
观察与思考:极值与导数有何关系?
函数的极大值与极小值统称为函数的极值
使函数取得极值的点称为极值点。
函数极值的判定定理
设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ´(x0) = 0
若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为正;
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为负,
则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f ´( x0 )
(2)若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为负;
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正,
则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
y
x
O
x1
x2
a
b
y=f(x)
在极大值点附近
在极小值点附近
f (x)<0
f (x)>0
f (x)>0
f (x)<0
(ⅰ)极值是一个局部概念
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
(ⅱ)函数的极值不是唯一的
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值
由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小
注意:
(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点