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文档介绍：矩阵位移法
第三讲
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1
矩阵代数复习
1、矩阵定义
一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m 行和n列,称为mn 阶矩阵。
A
=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
m
m
mn
11
12
1
21
22
2
1
2
L
L
M
O
M
L
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2、方阵
一个具有相同的行数和列数的矩阵,即
m
=
n
时,称为
n
阶方阵。
3、行矩阵和列矩阵
一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵,如:
A
=
[
]
a
a
a
a
n
11
12
13
1
···
由单列组成的矩阵称为列矩阵,如:
A
=
a
a
a
m
11
21
1
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2
4、纯量
仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。
5、矩阵乘法
两个规则:
(1)两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘,即
A
B
C
p
l
m
p
l
n
m
n
´
´
´
=
=
当
时才能相乘
A B
=
a
a
a
a
b
b
11
12
21
22
11
21
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共形
2
×
2
2
×
1
B A=
b
b
a
a
a
a
11
21
11
12
21
22
é
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ú
非
共形
2
×
1 2
×
2
(2)不具有交换律,即
AB
¹
BA
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3
6、转置矩阵
将一个阶矩阵的行和列依次互换,所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵,如:
A=
a
a
a
a
a
a
11
12
21
22
31
32
é
ë
ê
ê
ê
ù
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ú
其转置矩阵为
A
T
=
é
ë
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ú
a
a
a
a
a
a
11
21
31
12
22
32
当连乘矩阵的乘积被转置时,等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若
A=B C D
则
A
T
=D
T
C
T
B
T
7、零矩阵
元素全部为零的矩阵称为零矩阵,用0表示。
若
AB=0
,
但不一定
A=0
或
B=0。
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4
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵,即
AI
=
A
IA
=
A
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5
10、逆矩阵在矩阵运算中,没有矩阵的直接除法,
除法运算由矩阵求逆来完成。例如,若
AB
=
C
则
B
=
A
-
1
C
此处
A-1
称为矩阵
A
的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义:
A A
-
1
=
A
-
1
A
=
I
矩阵求逆时必须满足两个条件:
(1)矩阵是一个方阵。
(2)矩阵的行列式不为零,即矩阵是非奇异矩阵(行列式为零的矩阵称为奇异矩阵)。
11、正交矩阵
若一方阵A 每一行(列)的各个元素平方之和等于1,而
所有的两个不同行(列)的对应元素乘积之和均为零,则称该矩阵为正交矩阵,则
A
=
cos
sin
sin
cos
a
a
a
a
-
é
ë
ê
ù
û
ú
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵,即
A
-
1
=
A
T
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§2-1 概述
矩阵位移法的理论基础是传统的位移法,只是它的表达形式采用矩阵代数,而这种数学算法便于编制计算机程序,实现计算过程的程序化。
一、矩阵位移法的基本思路
矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法;
矩阵位移法的两个基本步骤是
(1)结构的离散化;(2)单元分析;(3)整体分析,
任务
意