文档介绍：构造不等式巧解解析几何题
【摘要】在整个高中数学中,不等式具有广泛的数学应用基础。本文以近年的经典数学题为例,介绍如何构造不等式,巧解解析几何题,从而启迪学生更有效的进行解析几何的学****br/> 【关键词】构造不等式巧解解析几何题
不等式的应用贯穿于整个高中数学的各个章节,,构造不等式,可使问题迎忍而解,下面举例说明。
例1 已知双曲线?x?2a?2-y?2b?2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F?1,F?2,点P?在双曲线的右支上,且?|PF?1|=4|PF?2|,?则双曲线离心率的最大值为
解:∵|PF?1|=4|PF?2|,又|PF?1|-|PF?2|=2a
∴|PF?1|=8a3,|PF?2|=2a3.
由双曲线的几何特征知|PF?1|≥c+a,|PF?2|≥c-a
即:8a3≥c+a,2a3≥c-a
可得ca≤53,即e≤:选B.
启迪:本题的解题关键是根据双曲线右支上的点中,以双曲线的右顶点到两个焦点的距离为最短,以此构造了不等式“|PF?1|≥
c+a,|PF?2|≥c-a”,使问题得以解决.
例2
已知双曲线?x?2a?2-y?2b?2=1(a>0,b>0)?的左、右焦点分别为?F?1,F?2,?在双曲线的左支上有一点?P?到左准线的距离为?d?,若?d,|PF?1|,|PF?2|?成等比数列,求双曲线离心率?e?的取值范围.
解:∵|PF?1|d=|PF?2||PF?1|=e,
∴|PF?2|=e|PF?1|①
又|PF?2|-|PF?1|=2a②
由①②解得|PF?1|=2ae-1,|PF?2|=2aee-1
由“三角形两边之和大于第三边”可构造不等式
|PF?1|+|PF?2|>|F?1F?2|
而当F?1、P、F?2三点共线时,|PF?1|+|PF?2|=|F?1F?2|
所以2aee-1+2ae-1≥2c,解得1-2≤e≤1+2
∵e>1,∴1<e≤1+2
启迪:本题的解题关键是根据双曲线左支上的点?P与双曲线的两个焦点F?1、F?2?构成的三角形中,两条焦半径之和大于焦距,从而构造出不等式,但还应该注意到?F?1、P、F?2?三点共线时,两条焦半径之和等于焦距这个事实,以免出错.
例3 已知定点?A(-2,3)?,点?F?为椭圆?x?216+y?212=1?的右焦点,点?M?在椭圆上移动,求?|AM|+2|MF|?的最小值.
解:∵a=4,c=2,e=12,由椭圆的第二定义得|MF||MM′|=e=12
∴|MM′|=2|MF|,|AM|+2|MF|的最小值就是|AM|+|MM′|,|AM|+|MM′|≥|AN|,即当A、M、M′三点共线时,|AM|+|MM′|的最小值为|AN|=8-(-2)=10.
启迪:本题的解题关键是构造了不等式|AM|+|MM′|≥|AN|,它可以理解为过M作MQ⊥AN于Q,则直角三角形的斜边AM大于直角边AQ,这样就有|AM|+|MM′|≥?|AQ|?+|QN|=|AN|,当且仅当A、M、M′三