文档介绍：函数——周期性与对称性
(同号看周期,异号看对称)
编号
周期性
对称性
1
→T=2
→对称轴Û是偶函数;
→对称中心(a,0)Û是奇函数
2
→T=
→对称轴;
→对称中心;
3
f(x)= -f(x+a)→T=2
f(x)= -f(-x+a)→对称中心
4
→T=2
→对称中心
5
f(x) +f(-x+a)= b→对称中心
函数的周期性主要结论
∈R,都有(),那么函数y=f(x)的图像关于直线对称是偶函数
∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立,那么函数的图像关于直线x=(由x=确定)对称
3. 如果函数对于一切x∈R, 都有成立, 那么函数的图像关于点对称
(1)函数与函数的图像关于直线(即y轴)对称;函数与函数的图像关于直线; 函数与函数图像关于坐标原点对称。
(2)函数,的图像关于直线(由确定)对称
(3)函数与函数的图像关于直线对称(由确定
(4)函数与函数的图像关于点中心对称
(对一个x而言),上加下减(对解析式而言):若将函数的图像右移a、上移b个单位,得到函数的图像;若将曲线的图像右移a、上移b个单位,得到曲线的图像
;函数的图像是把的图像沿x轴向右平移个单位得到的;函数的图像是把的图像沿x轴向左平移个单位得到的
:对于函数,如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的每一个值时,都有,则的最小正周期为T,T为这个函数的一个周期
,且最小正周期为T,那么
9. 如果函数所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期,如果函数的最小正周期为T则函数的最小正周期为,如果是周期函数,那么的定义域无界
:
(1)如果是R上的周期函数,且一个周期为T,那么
(2)函数图像关于轴对称
(3)函数图像关于中心对称
(4)函数图像关于轴对称,关于中心对称
(5)或或或
, 则的周期T=2a
(6),则的周期T=3a
(7)则的周期T=4a;
(8)
,则的周期T=5a;
(9),则的周期T= 6a
练****题
一、选择题:
1、已知是上的增函数,若令,则是上的( )
2、已知函数是定义在上的奇函数,函数的图象与函数的图象关于直线对称,则的值为( )
3、定义在上的函数满足,当时,单调递增,如果,且,则的值为( )
4、已知函数对于任意,有,且,则的值为( )
B. C. D.
二、填空题:
5、若函数满足,且对任意都有,则。
6、定义在上的函数的图象关于点中心对称,对任意的实数都有,且,则的值为。
7、函数对于任意实数满足条件,若则__________。
8、若,则(1)函数的一个周期为;
(2)函数的一个周期为.
9、若则的值为。
三、解答题:
10、已知函数对任意非零实数都有,且时,。(1)试判断函数的奇偶性;(2)求函数在