文档介绍：在工程技术与科学研究中,常会遇到函数表达式过于复杂而不便于计算,且又需要计算众多点处的函数值;或已知由实验(测量)得到的某一函数 y=f(x)在区间[a,b]中互异的n+1个xi ( i=0, 1, ... ,n)处的值yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 需要构造一个简单易算的函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式
y=f(x)≈P(x) ,
使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
这类问题就称为插值问题, P(x)称为插值函数, P(x)一般取最简单又便于计算得函数。
第2章插值法
x0
x1
x2
x3
x4
x
P(x) f(x)
f(x)
y=f(x)≈P(x) ,
使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
其它点 P(x) f(x) = y
插值问题
设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0, 1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一个次数不超过n的多项式Pn(x)使其满足
Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) (5-1)
这就是多项式插值问题.
引言
其中Pn(x) 称为 f(x) 的n次插值多项式, f(x) 称为被插函数, xi(i=0,1, ...,n)称为插值节点, (xi, yi) (i=0,1, …,n) 称为插值点, [a,b] 称为插值区间, 式(5-1)称为插值条件。
从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线 y=Pn(x), 使它通过已知的n+1个点(xi,yi) (i=0,1, …,n),并用Pn(x)近似表示f(x).
即 P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
其中ai为实数,就称P(x) 为插值多项式,相应的插值法称为多项式插值,若P(x)为分段的多项式,就称为分段插值,若P(x)为三角多项式,就称为三角插值,本章只讨论插值多项式与分段插值。
本章主要研究如何求出插值多项式,分段插值函数,样条插值函数;讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛些及误差估计等。
定理1 设节点 xi (i=0,1, …,n)互异, 则满足插值条件
Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n)的次数不超过n的多项
式存在且唯一.
证设所求的插值多项式为
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (5-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
插值多项式的存在性和唯一性
此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式:
(5-3)
由克莱姆法则知方程组(5-3) 的解存在唯一. 证毕。
考虑最简单、最基本的插值问题.
求n次插值多项式 l i(x) (i=0,1, …,n),
使其满足插值条件
基函数
可知, 除 xi点外, 其余都是 li(x)的零点, 故可设
Lagrange
法1736-1813
拉格朗日插值
其中A为常数, 由li(xi)=1可得
称之为拉格朗日基函数, 都是n次多项式。
n=1时的一次基函数为:
y
1
O x
y
1
O x