4.2相似矩阵.ppt

文档介绍：第二节相似矩阵
一、相似矩阵的概念
设A、B都是n阶矩阵,如果存在非奇异矩阵P,使得
P-1AP=B
我们称A与B相似。记为“A~B”;P称为A与B相似的变换矩阵。
显然,相似矩阵有如下简单性质:
(ⅰ)A~A (只需取P=I)
(ⅱ)如A~B,则必有B~A
证明:因为A~B,所以存在可逆矩阵P,有
P-1AP=B
所以 A=PBP-1 即 A=(P-1)-1 B(P-1)
即是 B~A

(ⅲ)如A~B,B~C,则必有A~C。
证明: 因为A~B, B~C,所以存在可逆矩阵P1、P2
P1-1AP1=B,P2-1BP2=C
所以有 P2-1(P1-1AP1)P2=C
即有(P1P2)-1A(P1P2)=C
所以 A~C

二、相似矩阵的性质
n阶矩阵A与B如果相似,则它们会有许多共同之处。
~B,则A与B有相同的特征值。
证明:A~B,则存在可逆矩阵P有
P-1AP=B
所以
|λI-B|=|λI-P-1AP |
=| P-1(λI-A)P|
=| P-1||λI-A || P|
=|λI-A |
即A与B的特征方程相同,
∴A与B有相同的特征值。

~B,则A与B的秩相同。
证明:A~B,则存在可逆矩阵P有
P-1AP=B (1)
由于P可逆,可设
P=T1T2…Ts (Ti为初等矩阵)
代人(1)得
(T1T2…Ts)-1A(T1T2…Ts)=B
∴ Ts-1Ts-1-1…T2 –1T1-1A(T1T2…Ts)=B
即A经过2s次初等变换可变成B,所以必有
秩A=秩B
恋惨谭针絮槐谱独蜕馒址兆订再蝎目砂杖慌硫***
~B,则∣A∣=∣B∣
证明:A~B,则存在可逆矩阵P有
P-1AP=B
所以有
∣B∣=∣P-1AP∣=| P-1||A| |P|=|A|
~B,则A与B的奇异性相同(利用性质3可得此结论)
例1. 已知三阶矩阵A与B相似,A的特征值为1、2、3,求矩阵B2-2B的特征值。
解:A与B相似,则B的特征值也为 1、2、3
由上节例3知 B2 - 2B 的特征值为-1、0、3。

,证明A2-A与B2-B相似。
证明:A与B相似。则存在可逆矩阵P,有
P-1AP=B
所以
B2=(P-1AP)(P-1AP)=P-1A2P
可得 P-1 (A2 – A ) P=P-1A2P-P-1AP=B2-B
因此可得 A2 – A 与 B2 – B 相似。

矩阵与对角矩阵相似的条件
。(记P为A的特征向量组成的矩阵,对角矩阵Λ是由P的列对应的特征值组成的对角矩阵,则有P-1AP=Λ,即A~Λ).
证明:(i)必要性
如果A与对角矩阵Λ相似,则存在可逆矩阵P有
P-1AP=Λ可得 AP=PΛ
设 P=(X1X2…Xn) 其中,Xi为P的第i列,
由于P可逆,显然X1X2…Xn线性无关。
下证Xi为特征向量
撮薛变怔怔厩诈硅瓢胎尔角怯涣归窄扯***
再设
又 AP = A (X1X2…Xn) = (AX1 AX2 …AXn)
由AP = PΛ得:(AX1 AX2 …AXn)=(λ1X1 λ2X2 …λnXn)
进而可得:AXi = λiXi ( i = 1,2, …, n)
所以X1X2…Xn是A的n个线性无关的特征向量。

(ii) 充分性
设A有n个线性无关的特征向量X1X2…Xn,它们依次对应的特征值分别为λ1λ2…λn,
则有AXi=λiXi
令 P = (X1X2…Xn)
则可得 AP = A (X1X2…Xn) = (AX1 AX2 …AXn)
PΛ=(λ1X1 λ2X2 …λnXn)
∴AP=PΛ
∴ P-1AP=Λ即是 A~Λ证毕.