文档介绍：高数的发展与未来展望
一、高数的发展
高等数学是一门古老的自然学科, 它以微积分为主要研究对象。 如
果将整个数学比作一棵大树, 那么初等数学是树的根, 名目繁多的数
学分支是树枝, 而树干的主要部分就是微积分。 微积分堪称是人类智
慧最伟大的成就之一。
从 17 世纪开始,随着社会的进步和生产力的发展,以及如航海、
天文、矿山建设等许多课题要解决,数学也开始研究变化着的量,数
学进入了“变量数学”时代,即微积分不断完善成为一门学科。整个
17 世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究,但使微
积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。
但是,微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前 3 世纪,
古希腊的数学家、 力学家阿基米德 (公元前 287—前 212)的著作《圆
的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽,他在研究解决
抛物线下的弓形面积、 球和球冠面积、 螺线下的面积和旋转双曲线的
体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
作为微积分的基础极限理论来说, 早在我国的古代就有非常详尽的
论述,比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中,著有“一尺
之棰,日取其半,万世不竭” 。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出
“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所
失矣”。他在 1615 年《测量酒桶体积的新科学》一书中,就把曲线看
成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多个三角形面积之和,
这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在 1635
年出版的《连续不可分几何》 ,就把曲线看成无限多条线段(不可分
量)拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
17 世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展,不但已有的
数学成果得到进一步巩固、充实和扩大,而且由于实践的需要,开始
研究运动着的物体和变化的量, 这样就获得了变量的概念, 研究变化
着的量的一般性和它们间的依赖关系。
到了 17 世纪下半叶, 在前人创造性研究的基础上, 英国大数学家、
物理学家艾萨克・牛顿( 1642-1727)是从物理学的角度研究微积分
的,他为了解决运动问题, 创立了一种和物理概念直接联系的数学理
论,即牛顿称之为“流数术”的理论,这实际上就是微积分理论。牛
顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》 、《运用无穷多项
方程的计算法》和《流数术和无穷极数》 。这些概念是力学概念的数
学反映。牛顿认为任何运动存在于空间,赖于时间,因而他把时间作
为自变量,把和时间有关的固变量作为流量,不仅这样,他还把几何
图形——线、角、体,都看作力学位移的结果。因而,一切变量都是
流量。牛顿指出,“流数术”基本上包括三类问题。
(1)“已知流量之间的关系,求它们的流数的关系” ,这相当于微
分学。
(2)已知表示流数之间的关系的方程,求相应的流量间的关系。
这相当于积分学, 牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数, 还包括解
微分方程。
(3)“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值、求曲线
的切线和曲率,求曲线长度及计算曲变形面积等。
牛顿已完全清楚上述( 1)(2)两类问题中运算是互逆的运算,于
是建立起微分学和积分学之间的联系。