文档介绍：复变函数与积分变换自测题1:第一章至第三章
已知函数f(z)在z0处连续,且f(z0)≠:存在z0的某个邻域,f(z)在其中处处不为0.
试将1-cosθ+isinθ化为指数形式。
计算(3+4i)1+i。
计算tan(3-i)。(注意:指最后结果需将实部、虚部分离)
求解方程sinz+icosz=4i。
已知v(x,y)=epxsiny是调和函数,求实常数p的值,并求对应的复变解析函数f(z)=u+iv。
已知f(z)= ex [xcosy-ysiny+i(ycosy+xsiny)],求f′(z)。
已知解析函数f(z)满足,当z≠0时,f′(z)= ,求f(z)。
计算,其中C:由0到2+i的有向线段。
计算,其中C:正向。
计算,其中C:顺时针方向。
计算,其中C:(1,0)沿单位圆的上半周至(-1,0).
计算,其中C:。已知条件:f(z)在内解析,且f(0)=1,f′(0)=。
自测题1 答案
证明:反设题设结论不成立。用数学语言表示:
。
于是由于f(z)在z0处连续(连续必极限存在),及复变函数极限的定义,知f(z0)=0,与题目已知条件矛盾。∴题设结论获证。
化为指数形式意味着必须标准化,成为形式。
我们首先计算复数的模。(逆用二倍角公式,这一点大家一定要掌握)(绝对值符号千万表丢了)
下面考虑复数的辐角。(逆用二倍角公式,注意cot0无意义,事实上时,原复数为0,辐角不存在,也不需要表示为指数式了)。因此,只要时,原复数就可以表示为下面的指数式:
。
遇到这样的问题一定要用最原始的方法进行计算,
首先计算,则原式=
(为什么可以这样?因为)
由此可见,我们绝对不能忽略Lnz的多值性,2kπi很重要!
tan(3-i)= (和差角公式)
(注意恒等式与二倍角公式的巧妙运用)
这个问题显然不经处理是无法轻易解决的。考虑原方程可化为,则我们可知-iz==iLn4=iln4-2kπ。
。(想想为什么可以这样快地得到结果?知道前者就可以对偶地将后者设出来啦~)
解这样的问题,以首先化简f(z)为宜,因为复变函数的求导法则与实函数相同。。
(将复变初等函数展开为u、v的形式,要烂熟于心,“挫骨扬灰”都能认出来!)
方法一(强烈推荐!解析函数法),其中z≠0,C为任意复常数。
方法二:首先利用已知条件求得,再利用Cauchy-Riemann条件,通过“偏积分”的方法将u、v求出。(很罗嗦,这里不作演示了)
9、利用参数法,本题答案为。
10、大家可以发现本题的解决依赖于第2题的结论!令,则原式=
(注意:积分上下限的变化、积分变量的变化、被积函数的变化)=。
11、考虑复变函数的积分是线积分,可以将积分曲线的方程代入表达式,则显然分母被消去,原式=0.
12、易见(用原函数法),而(令)
=,∴原式=。
13、本题大家要勇于对拆项计算,利用Cauchy积分公式与一阶导数公式,它等于8πi;因此,运用参数化方法,=2
π.
复变函数与积分变换自测题2:第四章
幂级数的收敛半径是多少?
在z=0的邻域内将展开成泰勒级数,它的收敛半径是多少?
判别的敛散性。
证明{cos(in)}是无界数列,并判别的敛散性。
求在z=0