文档介绍：第四节矩阵的初等变换与逆矩阵
一、矩阵的初等变换
二、逆矩阵的概念
三、逆矩阵的求法
四、用初等变换求矩阵的秩
五、小结
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一、矩阵的初等变换
定义1
对矩阵进行下列三种变换,称为矩阵的
初等行变换:
(1)互换矩阵的两行,
(2)用一个非零数乘矩阵的某一行,
(3)将矩阵的某一行乘以数k后加到另一行,
( :第i行与第j行互换)
( :第j行的k倍加到第i行上)
( :数k乘第i行, )
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把定义中的“行”换成“列”,得到矩阵的初等列变换的定义.
定义
对矩阵进行下列三种变换,称为矩阵的
初等列变换:
(1)互换矩阵的两列,
(2)用一个非零数乘矩阵的某一列,
(3)将矩阵的某一列乘以数k后加到另一列,
( :第i列与第j列互换)
( :第j列的k倍加到第i列上)
( :数k乘第i列, )
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矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
注:这是矩阵的演变,A与B一般不相等.
当矩阵A经过的初等变换变成矩阵B时,记作.
例1 利用初等行变换将矩阵
化为单位矩阵.
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二、逆矩阵的概念
定义2
设A为n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得
AB=BA=E
则称A为可逆矩阵,或称A为可逆的,称B为A的逆矩阵,记作A-1 ,即B=A-1 .
注:
①只有方阵才讨论是否可逆.
③单位矩阵 E 可逆,且
零矩阵O不可逆.
②方阵A可逆,需方阵B使
且此时B可逆,A为B的逆矩阵.
则拌丑痪水踊洁驰窍泊侮砧媚箍圃啄耘堤些搬讥芦晚穿联石扯之苑烩庶彤矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵
例1 设
解
设是的逆矩阵,
则
利用待定元素法
是否存在B,使AB=BA=E?
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又因为
所以
即
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逆矩阵的性质
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殆懈皮刁轰掇搔垦焕淳帝彝颗爷从募来遭尹穆菌铱到伞婿榴使诚沉也俘五矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵
定义3
行列式的各个元素的代数余子式所
构成的如下矩阵
性质
称为矩阵的伴随矩阵.
三、逆矩阵的求法

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