文档介绍：第一章信号与系统的基本概念
Chapter6
本课程要点:
引言:
第六章离散时间信号与系统的Z域分析
与连续时间系统类似,离散时间系统也可用变换域法进行分析。在离散时间系
统中,Z变换的作用类似于连续时间系统分析中的拉普拉斯变换。它将描述系统的
差分方程转换为代数方程,而且代数方程中包含了系统的初始条件,从而能求得系
统的零输入响应、零状态响应和全响应。
介绍和讨论Z变换的定义及其性质、离散时间系统的Z变换分析法、离散时间
系统的系统函数、频率响应及系统稳定性等概念。
Z变换
一. Z变换的定义
Z变换的定义可以由抽样信号的拉普拉斯变换引出。连续时间信号经理想抽
样,其抽样信号的表达式为
()
式中T为抽样周期。对上式进行拉普拉斯变换,得
交换求和与积分的顺序,并考虑冲激函数的筛分性质,可得
()
令或,取T=1,则式()变成了复变量z的函数式,即
()
式()即为Z变换定义式。由此可见,离散时间信号的Z变换式是抽样
函数的拉普拉斯变换将变量s代换为的结果。所以在本质上仍然
是离散时间信号的拉普拉斯变换。式()称为双边Z变换。如果离散时间
信号为有始序列,即时, ,则有
()
式()称为单边Z变换。工程实际应用多是单边Z变换。一般地, 称为序列
的象函数; 称为的原函数。
若已知,根据复变函数的理论,原函数可由下式确定
()
式()称为的反变换,它与式()构成Z变换对。通常记为
或
二. Z变换的收敛域
由Z变换的定义式()可以看到, 是一个幂级数,显然,只有当级数收
敛时Z变换才有意义。根据级数理论,使满足绝对可和条件
()
的所有Z值的集合,称为Z变换的收敛域。
上式的左边构成正项级数,通常可以利用级数理论中的比值判定法或根值判定
法来判定的收敛性和确定收敛域。下面讨论几类序列收敛域的问题。
1. 有限长序列
这类序列只在有限的区间( )具有非零的有限值,此时Z变换为
()
由于是有限整数,因而上式是一个有限项级数。可以看出,当, 时,
除及外, 在Z平面上处处收敛,即收敛域为;当,
时, 的收敛域为;当, 时, 的收敛域为。可见有限长
序列的Z变换收敛域至少为,且可能包括或。
2. 右边序列
这类序列是有始无终的序列,即当时, ,此时Z变换为
()
由根值法,只有满足
即
式()才收敛,可见,右边序列的收敛域是半径为的圆外部分。若,
则收敛域包括,即;若,则收敛半径不包括,即。
特别当时,右边序列变成因果序列,其收敛域为。
3. 左边序列
这类序列是无始有终的序列,即当时, ,此时Z变换为
()
若令,上式变为
如果将变量m再改为k,则
同理,只有满足
即
式()才收敛。可见,左边序列的收敛域是半径为的圆内部分。如果
,收敛域不包括,即;如果,收敛域包括
,即。
4. 双边序列
双边序列的Z变换写为
显然,可以把它看成左边序列和右边序列的Z变换叠加。上式右边第一项是左边
序列,其收敛域为;第二项是右边序列,收敛域为。如果,
则收敛域是两个序列收敛域的重叠部分,即
()
所以,双边序列的收敛域通常是圆环。如果,则两个序列不存在公共的
收敛域,此时不存在。
常用序列的Z变换
1. 单位冲激序列
即
()
其收敛域为整个Z平面。
2. 单位阶跃序列
当时,此几何级数收敛
即
()
收敛域为。
3. 单边指数序列
对于该级数,当,即时,级数收敛有
即
()
收敛域为。
为方便使用,。
序号
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
常用序列的Z变换