文档介绍：代数推理题怎么解
陕西永寿县中学特级教师安振平
数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.
例1设函数,已知,时恒有,求a的取值范围.
讲解: 由
,
从而只要求直线L不在半圆C下方时, 直线L 的y截距的最小值.
当直线与半圆相切时,易求得舍去).
故.
本例的求解在于关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.
还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.
例2 已知不等式对于大于1的正整数n恒成立,试确定a的取值范围.
讲解: 构造函数,易证(请思考:用什么方法证明呢?)为增函数.
∵n是大于1的正整数,
对一切大于1的正整数恒成立,必须,
即
这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.
例3 已知函数在区间[-b,1-b]上的最大值为25,求b的值.
讲解: 由已知二次函数配方, 得
时,的最大值为4b2+3=25.
上递增,
上递增,
.
关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标在不在区间[-b,1-b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.
例4已知
的单调区间;
(2)若
讲解: (1) 对已知函数进行降次分项变形, 得,
(2)首先证明任意
事实上,
而
.
函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新, 是既考知识又考能力的好题型, 在高考备考中有较高的训练价值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆向分析法, 给出你的想法!
例5 已知函数f(x)=(a>0,a≠1).
(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称.
(2) 令an=,对一切自然数n,先猜想使an>n2成立的最小自然数a,并证明之.
(3) 求证:∈N).
讲解: (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.
设M(x,y)是f(x)图象上任一点,则M关于P()的对称点为M’(1-x,1-y),
∴M′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上,
故函数f(x)的图象关于点P()对称.
(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式,化简可得an=an猜a=3,
即3n>n2.
下面用数学归纳法证明.
设n=k(k≥2)时,