文档介绍：一:三角函数典型题例示范讲解
例1在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北30°东,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米;
(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?
命题意图本题主要考查三角形基础知识,以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力
知识依托主要利用三角形的三角关系,关键找准方位角,合理利用边角关系
错解分析考生对方位角识别不准,计算易出错
技巧与方法主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题
解(1)在Rt△PAB中,∠APB=60° PA=1,∴AB= (千米)
在Rt△PAC中,∠APC=30°,∴AC= (千米)
在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°-60°=30°
sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30°
在△ACD中,据正弦定理得,
∴
答此时船距岛A为千米
例2已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B,设x=cos,f(x)=cosB(
)
(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域;
(2)判断其单调性,并加以证明;
(3)求这个函数的值域
命题意图本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力,并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力
知识依托主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题
错解分析考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点,并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题
技巧与方法本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式,公式主要是和差化积和积化和差公式在求定义域时要注意||的范围
解(1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120°
∵0°≤||<60°,∴x=cos∈(,1
又4x2-3≠0,∴x≠,∴定义域为(,)∪(,1]
(2)设x1<x2,
∴f(x2)-f(x1)==,
若x1,x2∈(),则4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0
即f(x2)<f(x1),若x1,x2∈(,1],则4x12-3>0
4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0
即f(x2)<f(x1),∴f(x)在(,)和(,1上都是减函数
(3)由(2)知,f(x)<f()=-或f(x)≥f(1)=2
故f(x)的值域为(-∞,-)∪[2,+∞
例3已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B
,求cos的值
解法一由题设条件知B=60°,A+C=120°
设α=,则A-C=2α,可得A=60°+α,C=60°-α,
依题设条件有
整理得4cos2α+2cosα-3=0(M)
(2cosα-)(2cosα+3)=0,∵2cosα+3≠0,
∴2cosα-=0 从而得cos
解法二由题设条件知B=60°,A+C=120°
①,
把①式化为cosA+cosC=-2cosAcosC ②,
利用和差化积及积化和差公式,②式可化为
③,
将cos=cos60°=,cos(A+C)=-代入③式得
④
将cos(A-C)=2cos2()-1代入④
4cos2()+2cos-3=0,(*),
例4: 在△ABC中,已知A、B、C成等差数列,则的值为
__________
解析∵A+B+C=π,A+C=2B,
例5: 在△ABC中,A为最小角,C为最大角,已知cos(2A+C)=-,sinB=,则cos2(B+C)=__________
解析∵A为最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180°
∵cos(2A+C)=-,∴sin(2A+C)=
∵C为最大角,∴B为锐角,又sinB= 故cosB=
即sin(A+C)=,cos(A+C)=-
∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=-,
∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1=
答案
例6: 在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,
(1)求角A的度数;
(2)若a=,b+c=3,求b和c的值
二:空间几何典型题例示范讲解
A1
E
D1
C1
B1
D
C
B
A
例1:如图,在正方体中,是的中点,
求证: 平面。
证明:连接交于,连接,