文档介绍：一道模拟考题引发的思考
1 题目呈现
如图1,直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分,E、F分别与BC交于点E,与AD交于点F(E,F不与顶点重合).(1)求证:AF=CE.(2)(3)略.
图1 图2
2 解答概况
近75%的学生采用如下方式证明:
连结AC交EF于点O,,而,所以EF,AC都过对称中心,故有OA==CE.
显然, “EF,AC都过对称中心,故有OA=OC”的得出缺乏依据.
本题解答的正确率只有15%左右.
3 探究成因
一道简单的几何论证题,为什么得分率如此低?为什么这么多的学生会采用这种错误证法?
成因一:知其然不知其所以然.
在学****中心对称图形”时,老师都会提到中心对称图形的这条性质:“过中心对称图形的对称中心的直线必平分图形的面积”.(教材中并没有这样的性质,然而用中心对称图形的定义容易得出)因此,当出现EF将矩形面积平分时,第一反应就联想到了这条“编外性质”.老师们热衷于补充不列入新教材中的一些性质,如已删去的十字相乘法,,.
补充知识,不应成为简单的知识识记,,实在是次要的.
成因二:错误的解答,折射出平时教学中数学严谨性的缺失.
“过中心对称图形的对称中心的直线必平分图形的面积”.“反之亦成立!”在课堂教学中很顺口的一句:反之亦成立;――尤其是结论真的很显见的时候.
:“过对称中心”是“平分面积”的充分条件,不要条件?还是充要条件?平分面积的直线是否只能过对称中心?
“过中心对称图形的对称中心的直线必平分图形的面积”.这条性质可以用中心对称图形的定义――旋转180°后与原图形重合,证明得到.
看似显见的逆命题:“将中心对称图形面积平分的直线必经过对称中心.”怎么证明?
如图3,已知O是中心对称图形F的对称中心,直线AB平分图F的面积,求证:直线AB经过点O.
用反证法证明:假设直线AB没有经过点O,
过A,O作直线交图F与点C,
因为“过中心对称图形的对称中心的直线必平分图形的面积”,
所以,直线AC两旁的图形面积相等,则直线AB左则的面积大于其右侧的面积,这与已知条件:直线AB平分图F的面积相矛盾.
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只有教师有严谨的数学思维****惯,才能在潜移默化中培养学生学****数学的严谨性.
成因三:学生高度统一地使用了错误的论证方法.
可见,,一个题目三四种解法,:老师介绍,,,,,更多的时间在穷于应付老师布置的新作业,少有反思体验,归纳提升.
成因四:思维定势.
证明线段相等,总是****惯从几何方法上考虑,,缺少全等条件,只能强行突破.
利用面积计算公式推理得到线段相等,其实是用代数方法解几何证明题的思想,(形象直观),反过来的,较少.
这是思维的定势,,,大学生研究群环,,有学生根据面积相等已得出AF+BE=CE++DF=BE+、DF之类的与
“元”等同起来.
4 解法荟萃:转化思想――四两拨千斤
学生根据面积相等已得出AF+BE=CE+DF后,,举重若轻.
转化1:将条件“直线EF将矩形纸片ABCD分成面图4积相等的两部分”转化为“梯形ABEF的面积是矩形面积一半”.相信绝大多数学生会顺利用面积公式得到AF+BE=BC,易得结论.
转化2:如图4,分别过点E、F作EN⊥AD于N,FM⊥“直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分”转化为矩形ABMF与矩形CDNE的面积相