文档介绍：非线性有限元第7章任意的Lagrangian和Eulerian公式
计算固体力学
第7章任意的Lagrangian和Eulerian公式
引言
ALE连续介质力学
ALE守恒规则
ALE控制方程
弱形式
网格更新算法
Petrov-Galerkin方法
1 引言
解决:在发生严重大变形的模拟中,重新划分网格是不可避免的,工作量大,而且由于网格投影引入了误差。
提出:许多问题应用Lagrangian网格不能有效地解决。
问题:当材料严重变形时,Lagrangian单元同样发生严重的扭曲,因为它们随材料一起变形,从而恶化了这些单元的近似精度,特别是对于高阶单元。因此,在积分点的Jacobian行列式可能成为负值,从而使计算中止或者引起严重的局部误差。此外,也恶化了线性化牛顿方程的条件,并且显式稳定时间步长明显地下降。
一个Lagrangian网格像在材料上的蚀刻:当材料变形时,蚀刻(和单元)随着变形。
一个Eulerian网格像放在材料前面一薄片玻璃上的蚀刻:当材料变形时,蚀刻不变形,而材料横穿过网格。
1 引言
Lagrangian网格,材料点与网格点保持重合,单元随材料变形,适合描述固体与结构的变形,但容易严重扭曲。
解决方法:ALE网格(Arbitrary Lagrangian Eulerian) 节点能够有序地任意运动,在边界上的节点保持在边界上运动,内部的节点运动使网格扭曲最小化。
1 引言
1 引言
Mesh adaptivity is based on solution variables as well as minimum element distortion
Elements concentrate in areas where they are needed
Adaptation is based on boundary curvature
Deformation of a rubber seal
Initial configuration
Uniform adaptivity
Solution-dependent adaptivity
1 引言
在某些问题中,Lagrangian方法是根本不适用的。例如,对于高速流动的流体力学问题,如围绕机翼的区域,喷射等。
在Eulerian有限元中,网格与物质是相互独立的,网格在空间上是固定的,材料从网格中流过。这样Eulerian有限元不会随着材料运动而扭曲;但是,由于材料通过单元对流,本构方程的处理和更新是复杂的。
应用Eulerian单元处理移动边界和相互作用问题是困难的,因此,发展了ALE。
2 ALE连续介质力学
材料坐标与空间坐标
空间坐标与ALE坐标
在Lagrangian、Eulerian和ALE域之间的映射
ALE坐标(参考)
ALE坐标与材料坐标
相对运动关系
2 ALE连续介质力学
在ALE算法中,网格运动是预先设置的或者是由计算得到的。
网格位移
网格速度
网格加速度
ALE网格的加速度和速度没有任何物理意义。当网格是Lagrangian 时,它们对应于材料速度和加速度。
定义传递速度 c,作为材料速度和网格速度之间的差
c=0,为L格式;c=v,( ) 为E格式。
2 ALE连续介质力学
考虑一个指定的函数
为ALE坐标和时间t 的函数
参考质点速度w
材料速度和网格速度的差
对于材料速度