文档介绍：第二章解析函数
1、复变函数的概念、极限与连续性
2、解析函数的概念
3、函数可导与解析的充要条件
4、初等函数
1. 复变函数的概念
一、定义
设E是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合E中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数)。记作
w=f(z)
如果z的一个值对应着w的一个值, 则函数f(z)是单值的; 否则就是多值的. 集合E称为f(z)的定义集合, 对应于E中所有z对应的一切w值所成的集合G或f(E), 称为函数值集合.
设 z = x+iy, w = u+iv
其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u ,v .
例如, 考察函数 w = z = x+iy, w = u+iv , 则 u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 因而函数 w = z2 对应于两个二元函数: u = x2-y2, v = 2xy
在以后的讨论中, E常常是一个平面区域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.
二、映射的概念
函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集E(定义集合)变到 w平面上的一个点集G (函数值集合)的映射(或变换). 如果 E 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的点 w, 则 w 称为 z 的象(映象), 而 z 称为 w 的原象.
x
u
E
G
Z
z
w
W=f(z)
v
y
W
设函数w = z =x – iy ; u=x , v=-y
x
y
O
u
v
O
A
B
C
z1
z2
A'
B'
C'
w1
w2
2. 复变函数的极限
函数的极限定义 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 0<|z-z0|< r内, 如果有一确定的数A存在, 对于任意给定的e >0,
相应地必有一正数d (e) (0 <d r), 使得当 0 <|z-z0|<d 时有| f (z)-A |<e ,则称A为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作
或记作当 zz0 时, f (z)A.
几何意义:
x
y
O
z0
d
z
O
u
v
A
e
f(z)