文档介绍：分析中考的几何计算题
几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算,主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算,从图形上分类有:三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有:几何法、代数法、三角法等。
一、三种常用解题方法举例
如图,在矩形ABCD中,以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T,与对角线AC交于P,PE⊥AB于E,AB=10,求PE的长。
解法一:(几何法)连结OT,则OT⊥CD,且OT=AB=5,BC=OT=5,AC==
∵BC是⊙O切线,∴BC2 =CP·CA
∴PC=,∴AP=CA-CP=
∵PE∥BC ∴,PE=×5=4
说明:几何法即根据几何推理,由几何关系式进行求解的方法,推理时特别要注意图形中的隐含条件。
解法二:(代数法)∵PE∥BC,∴∴
设:PE=x,则AE=2x ,EB=10–2x
连结PB。∵AB是直径,∴∠APB=900
在Rt△APB中,PE⊥AB,∴△PBE∽△APE
∴∴EP=2EB,即x=2(10–2x)
解得x=4 ∴PE=4
说明:代数法即为设未知数列方程求解,关键在于找出可供列方程的相等关系,例如:相似三角形中的线段比例式;勾股定理中的等式;相交弦定理、切割线定理中的线段等积式,以及其他的相等关系。
解法三:(三角法)连结PB,则BP⊥AC。设∠PAB=α
在Rt△APB中,AP=10COSα
在Rt△APE中,PE=APsinα, ∴PE=10sinαCOSα
在Rt△ABC中, BC=5,AC=
∴sinα=,COSα=∴PE=10×=4
说明:在几何计算中,必须注意以下几点:
注意“数形结合”,多角度,全方位观察图形,挖掘隐含条件,寻找数量关系和相等关系。
注意推理和计算相结合,先推理后计算,或边推理边计算,力求解题过程规范化。
注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用。
二、其他题型举例
如图,ABCD是边长为2 a的正方形,AB为半圆O的直径,CE切⊙O于E,与BA的延长线交于F,求EF的长。
分析:本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质。本题可用代数法求解。
解:连结OE,∵CE切⊙O于E, ∴OE⊥CF ∴△EFO∽△BFC,∴
又∵OE=AB=BC,∴EF=FB
设EF=x,则FB=2x,FA=2x–2a
∵FE切⊙O于E ∴FE2=FA·FB,∴x2=(2x–2a)·2x
解得x=a ∴EF=a
:如图,⊙O1 与⊙O2相交于点A、B,且点O1在⊙O2上,连心线O1O2交⊙O1于点C、D,交⊙O2于点E,过点C作CF⊥CE,交EA的延长线于点F,若DE=2,AE=(1)求证:EF是⊙O1的切线;(2)求线段CF的长;(3)求tan∠DAE的值。
分析:(1)连结O1A,O1E是⊙O2的直径,O1A⊥EF,从而知EF是⊙O1的切线。
(2)由已知条件DE=2,AE=,且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线,运用切割线定理EA2=ED·EC,可求得EC=10。由CF⊥CE,可得CF是⊙O1的切线,从而FC=FA。在Rt△EFC中,设CF=x,则FE=x+。又CE=10,