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1998 年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学一试题详解及评析
一、填空题
112++xx −−
(1) lim = .
x→0 x2
1
【答】−.
4
【详解 1】用四则运算将分子化简,再用等价无穷小因子代换,
2
()11++xx −− 4
原式= lim
x→0 xxx2 ()112++ −+
2
21( −−x 1) 1
= lim 因 11~−−x22 −x
x→0 4x2 2
1
− x2
1
==−lim2 .
x→0 24x2
【详解 2】采用洛必达法则,
11
−
0 11− x −+x
原式⎯⎯0 →=lim21+−xx 21 lim
xx→→002x 41xx− 2
11−−xx +
= lim
x→0 4x
−11
−
0 1
⎯⎯0 →=− lim21−+xx 21 .
x→0 44
注: 110−→xx2 () →可求出
λ
【详解 3】采用()1+ u 的马克劳林展开式, u → 0 时
λλλ( −1)
()11+=++uuλ uou22 +() ,
2!
所以 x → 0 时
11⎛⎞22
11+=+x xxox +−⎜⎟+() ,
28⎝⎠
11⎛⎞22
11−=−x xxox +−⎜⎟+() ,
28⎝⎠
于是
11 11
11+−xx222 +−− xxox +() − 2
原式=lim 28 28
x→0 x2
2
⎛⎞1 ox()
=−+ lim⎜⎟
x→0 ⎜⎟4 x2
⎝⎠
1
=−
4
1 ∂2 z
(2)设 zfxyyxyf=++()ϕ( ),,ϕ具有二阶连续导数,则= .
x ∂x∂y
【答】 yf''() xy++++ϕϕ' ( x y ) y '' ( x y) .
【详解】
∂zy1
=−fxy() + f''() xyy +ϕ( x + y ),
∂xx2 x
∂2 z 11
=−f '''''''()xyfxyyfxyxyyxy +()()()() + +ϕϕ+ + +
∂∂xy x x
=++++yf''()()() xyϕϕ' x y y '' x y
xy22
(3)设 l 为椭圆+ =1, 其周长记为 a, 则 v∫(234xyx+ 22+= yds) .
43 l
【答】 12a .
xy22
【详解】以 l 为方程+=1, 即 3412xy22+ = 代入,得
43
vvv∫∫∫()234xyx++22 ydsxydsxydsa =( 2122 +) = += 1212, a
lll
其中第一个积分,由于 l 关于 x 轴对称,而 xy 关于 y 为奇函数,于是 v∫ xyds =0.
l
(4)设 A 是 n 阶矩阵, A ≠ 0, A* 为 A 的伴随矩阵, E 为 n A 有特征值λ, 则
2
()AE* + 必有特征值.
2
⎛⎞A
【答】⎜⎟+1.
⎝⎠λ
【详解】设 Ax=≠λ x() x 0,则
1 A
Ax−−11=⇒ x AAx = x,0() x ≠
λλ
2
* A * 2 ⎛⎞A
即 Ax= x, 从而()Ax= ⎜⎟ x,
λ⎝⎠λ
2
2 ⎡⎤A
⎡⎤* ⎛⎞
()AEx+=⎢⎥⎜⎟+1, xx ≠ 0,
⎣⎦⎢⎥λ
⎣⎦⎢⎥⎝⎠
2
* 2 ⎛⎞A
可见()AE+ 必有特征值⎜⎟+1
⎝⎠λ
1
(5)设平面区域 D 由曲线 y = 及直线 yxxe= 0,== 1, 2 所围成,二维随机变量()X ,Y 在
x
区域 D 上服从均匀分布,则()X ,Y 关于 X 的边缘概率密度在 x = 2 处的值为.
1
【答】.
4
【详解】区域 D 的面积为
1
ee221
Sdxdydx===x 2.
D ∫∫11 ∫ 1x
于是()X ,Y 的联合概率密度为
⎧1
⎪,,()x yD∈
fxy(), = ⎨2
⎩⎪0, 其他
其关于 x 的边缘概率密度为
1
⎧ 11 2
+∞⎪ x dy= ,1≤≤ x e
∫0
fxXX()== fxdy () ⎨ 22x
∫−∞
⎪
⎩ 0, 其他
1
故