文档介绍：立体几何中的向量方法
适用学科
高中数学
适用年级
高中二年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
90
知识点
用空间向量处理平行垂直问题;用空间向量处理夹角问题.
教学目标
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量;
2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;
3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法的作用.
教学重点
用向量方法解决立体几何中的有关问题
教学难点
用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题
教学过程
一、课堂导入
空间平行垂直问题
;
;
;
空间夹角问题
;
;
;
空间距离问题
二、复****预****br/>(1)空间向量的直角坐标运算律:设,,则
,,,
, , .
(2)若,,则.
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
(3)模长公式:若, 则.
(4)夹角公式:.
(5)两点间的距离公式:若,,则
.
三、知识讲解
考点1 平面法向量的求法
在空间平面法向量的算法中,普遍采用的算法是设,它和平面内的两个不共线的向量垂直,数量积为0,建立两个关于x,y,z的方程,再对其中一个变量根据需要取特殊值,.
求法一:先来看一个引理:
若平面ABC与空间直角坐标系x轴、y轴、z轴的交点分别为A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c),定义三点分别在x轴、y轴、z轴上的坐标值xA = a, yB = b, zC = c(a,b,c均不为0), 的值可根据实际需要选取.
证明:= (-a, b, 0), = (-a, 0, c),
∴ ,
∴ 是平面ABC的法向量.
这种方法非常简便,但要注意几个问题:
(1)若平面和某个坐标轴平行,则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为¥,(交点坐标值为¥),和y轴、z轴交点坐标值分别为b、c,则平面法向量为;若平面和x,y
轴平行,和z轴交点的坐标值为c,则平面法向量为.
(2)若平面过坐标原点O,则可适当平移平面.
求法二:求出平面方程,得到法向量.
我们先求过点及以n=为法向量的平面的方程.
设是平面上的动点,于是有n=0,
即
整理得
令,有
这就是平面的一般方程.
.
注意:(1)有了平面的方程,就能得到平面的法向量,可用平面内不共线的三点求出平面的方程.
(2)一些特殊情形的平面,方程会更简捷:
通过原点的平面,,方程为;
平行于轴的平面,,方程为;
通过轴的平面,,方程为;
既平行于轴又平行于轴的平面,也就是一个平行于坐标面的平面,方程为;
类似地,可讨论其它特殊情形.
(3)两平面:与平行的充要条件是
求法三:用行列式求得法向量.
若,是平面内两个不共线向量,
计算行列式=,
则平面的法向量为.
考点2 用空间向量求解二面角
(一)用法向量解二面角
用法向量求解二面角时遇到一个难题:二面角的取值范围是[0, p ],而两个向量的夹角取值范围也是[0, p ],那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角?如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角,只要取不超过的那个角即可,但对二面角却是个难题. 笔者经过思考,总结出一个简单可行的方法,供读者参考.
q
图一
用法向量解二面角首先要解决的问题就是:两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致?其次,如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向?
对第一个问题,我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角(如图一),两个平面的法向量则应分别垂直于该平面角的两边. 易知,当
同为逆时针方向或同为顺时针方向时,它们所夹的解即为q . 所以,我们只需要沿着二面角棱的方向观察,选取旋转方向相同的两个法向量即可. 或者可以通俗地理解,起点在半平面上的法向量,如果指向另一个半平面,则称为“向内”的方向;否则称为“向外”的方向. 两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”,而另一个“向外”.
x
y
z
O
图二
对第二个问题,我们需要选取一个参照物. 在空间直角坐标系中,我们可以选择其中一个坐标轴(如z轴),通过前面的办法,可以确定法向量的方向,再观察该法向量与xO