文档介绍：一引例
现考查一批5万只的灯泡. 为了评估灯泡的使用寿命(设每只灯泡的寿命是一个随机变量X (单位:小时), :
频率
16
26
32
20
6
灯泡数(频数)
1250
1200
1150
1100
1050
寿命(小时)
可求得这100只灯泡的平均寿命为
可见,这100只灯泡的平均寿命为 1163小时. 可以认为,这5万只灯泡的寿命是1163小时. 这里,我们注意取值和取该值频率的乘积相加求和关系.
定义1 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X= }= ,k=1,2,3,…若级数绝对收敛, 则称数项级数的和为随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即
二、概念
在实际试验中所得到的随机变量观察值的算术平均与数学期望值有密切联系. 设在n次独立试验中, 随机变量X取xk的频数为nk, 频率, 则可以计算出X观察值的算术平均值为
此式实际上是一种加权算术平均,把它与()式比较, 它与X 的理论分布的数学期望E(X)的计算方法是相似的, 只是用频率代替了概率. 随着试验次数n的增加, 频率fn(xk)会越来越接近于概率pk, 故的取值也会愈接近E(X). 因此, 我们也把数学期望E(X)称为X的均值.
例1 甲和乙两个工人生产同一种产品. 在相同的条件下, 生产100件产品所出的废品数分别用X, Y表示, 它们的概率分布如下,
X
0 1 2 3
P
Y
0 1 2 3
P
0
问这两个工人谁的技术水平比较高?
确定甲和乙的技术水平, 可以计算二人生产出废品的多少, 即出废品少者技术水平比较高. 考虑数学期望
E(Y )=0×+1×+2×+3×0=.
E(X )=0×+1×+2×+3×=,
可见, 甲工人生产出废品的均值较小, 因此可以认为甲的技术水平高.
解
课本(例3)
按规定,
但到站的时刻是随机
的,
且两者到站的时间相互独立.
其规律为
到站时刻
概率
求他候车时间的数学期望.
解
律为
在上表中,
例如
候车时间的数学期望为
例2 (Ex.)