文档介绍：课程名称:一道解析几何课本例题的探究与拓展
课程作者:张明刚
课程对象:高二学生
课程课时:两课时
课程背景:教材是数学知识和方法的载体,是高考题的直接来源,高考题所考察的知识点,几乎都能在教材上找到原型,很多题都是课本例题习题变更包装,恰当迁移,延伸与拓展,这就警示我们,要高度重视教材的典型例题习题,对其进行挖掘,再开发再拓展,发现其本质价值所在,本节课就是对解析几何2-1教材的零散的同类问题进行提炼,探究其本质属性,从而构建知识的网络体系,让学生体会到什么是源于课本而又高于课本。
课程内容:
题型1: M、N是椭圆上关于原点对称的两个点,P是椭圆上异于M、N的任意一点,求直线PM、PN的斜率之积?
题型2:若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点,P是双曲线上异于M、N的任意一点,求直线PM、PN的斜率之积?
请同学先看课本上一道例题
(人教选修2-1例3)
例1:已知ABC两个顶点A、B,边AC、BC所在直线的斜率之积等于,求顶点C的轨迹方程。
略解:易求得轨迹方程为
课本探究:(人教A版《数学》(选修2-1)第55页探究)
例2:设点A、B的坐标分别为()、(5,0),直线AM、BM相交于点M,且他们的斜率之积是,求点M的轨迹方程。
解:易求得轨迹方程为
我们发现这两道题结构形式相同,只是斜率之积差一个负号,就导致轨迹完全不同,那么这两道题能合二为一吗?再看一道课本习题
(人教选修2-1复习参考题10)
例3:已知ABC两个顶点A、B,边AC、BC所在直线的斜率之积等于m,求顶点C的轨迹方程。
略解:设点C(x,y),则,
依题意得有,即
(1)若,则动点C轨迹为焦点在x轴上的椭圆(去掉()、(5,0)两点);
(2)若,动点C轨迹是焦点在y轴上的椭圆,去掉()、(5,0)两点);
(3)若m时,动点C的轨迹是圆,去掉()、(5,0)两点);
(4)若m>0,动点轨迹为双曲线去掉()、(5,0)两点);
归纳提炼:比较以上三道题,我们发现
“例题”中的点A、B即为求得的椭圆的长轴端点,斜率之积恰为所求椭圆的。“变式”中的点A、B即为求得的双曲线的实轴端点,斜率之积恰为所求双曲线的。
而“作业”中,当,动点C的轨迹是以AB为长轴的椭圆,m=;当m>0时,动点C的轨迹是以AB为实轴的双曲线,m=。
这道题既考查了求曲线轨迹的方法,又给出了生成椭圆和双曲线的另一种方法
结论拓展为一般形式:
一个动点M到两定点A、B的连线的斜率之积为一个非零常数m,则动点轨迹(1)若m且(m=)则动点轨迹为椭圆(去掉AB两点);
(2)若,动点轨迹为圆(去掉AB两点);
(3)若m>0(m=),动点轨迹为双曲线(去掉AB两点);
拓展延伸:由以上习题,可知,当时,所求椭圆的长轴转移到了y轴上,由此可以猜想“椭圆上任意一点与其同轴上的顶点的连线斜率之积为定值”。
解:对于长轴上的两个顶点,由上面的例习题可知猜想正确,下面证明顶点在短轴上的情况。
设P(x,y)为椭圆上异于短轴端点的任意一点,A、B为短轴端点,则,又因为P点在椭圆上,所以
,将其代入上式,可得(定值)
同理可证,双曲线上任意一点与其同轴上的顶点连线的斜率之积为定值。
逆向探究:根据椭圆与双曲线的对称性,我们提出一个更加大胆的逆命