文档介绍：一、抽象函数的对称性
性质1 若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三个式子成立且等价:
(1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(2a-x)=f(x) (3)f(2a+x)=f(-x)
性质2 若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:
(1)f(a+x)=-f(a-x) (2)f(2a-x)=-f(x) (3)f(2a+x)=-f(-x)
易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。
二、复合函数的奇偶性
定义1 若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=f[g(x)],则复数函数y=f[g(x)]为偶函数。
定义2 若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=-f[g(x)],则复合函数y=f[g(x)]为奇函数。
说明:
(1)复数函数f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]而不是f[-g(x)]=f[g(x)],复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是f[-g(x)]=-f[g(x)]。
(2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)
(3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数y=f(x)关于直线x=a轴对称(或关于点(a,0)中心对称)
三、复合函数的对称性
性质3 复合函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线x=轴对称
性质4 复合函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(,0)中心对称
证明性质3: 令(m,n)为y=f(a+x)上任一点,则n=f(a+m)
令b-x=m+a,x=b-m-a 则(b-m-a,n)为y=f(b-x)上相应的一点
又点(m,n)与点(b-m-a,n)关于直线x=轴对称
∴y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线x=轴对称
性质4 令(m,n)为y=f(a+x)上任一点,则n=f(a+m)
则(b-m-a,-n)为y=f(b-x)上相应一点
点(m,n)与点(b-m-a,-n)关于点(,0)
即(,0)中心对称
∴y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(,0)中心对称
推论1 复合函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴轴对称
推论2 复合函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点中心对称
四、函数的周期性
若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x) ③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x)
五、函数的对称性与周期性
性质4 若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质5 若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质6 若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|
下证性质6
f(x)关于点(a,0)中心对称,