文档介绍：第四节矩、协方差矩阵
原点矩中心矩
协方差矩阵
n 元正态分布的概率密度
一、原点矩中心矩
定义设X和Y是随机变量,若
存在,称它为X的k阶原点矩,简称 k阶矩.
存在,称它为X的k阶中心矩.
可见,均值 E(X)是X一阶原点矩,方差D(X)
是X的二阶中心矩。
协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合(原点)矩.
若
存在,
称它为X 和 Y 的 k+L 阶混合中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量,若
k,L=1,2,…
存在,
可见,
二、协方差矩阵
将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩
排成矩阵的形式:
称此矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵.
这是一个非
负定对称矩阵
类似定义n 维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵。
都存在,
( i, j=1,2,…,n )
若
矩阵
称
三、n 元正态分布的概率密度
f (x1,x2, …,xn)
则称 X 服从 n 元正态分布.
其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
|C|是它的行列式, 表示C的逆矩阵,
X 和是 n 维列向量, 表示X 的转置.
设=(X1,X2, …,Xn)是一个n维随机向量,
若它的概率密度为
n元正态分布的几条重要性质
1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布
a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn 均服从正态分布.
对一切不全为0的实数 a1,a2,…,an,
由此得到,n维正态变量(X1,X2, …,Xn)的每
一个分量Xi都是正态随机变量;反之,若每个分
量Xi都是正态随机变量,且它们相互独立,则
(X1,X2, …,Xn)是n维正态变量。
若 X=(X1, X2 , …, Xn) 服从 n 元正态分布,
Y1,Y2, …,Yk是Xj(j=1,2,…,n)的线性函数,
则(Y1,Y2, …,Yk) 也服从多元正态分布.
2. 正态变量的线性变换不变性.
3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布,则
“X1,X2, …,Xn相互独立”
等价于
“X1,X2, …,Xn两两不相关”
例设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.
故X 和Y 的联合分布为正态分布,X 和Y 的任意线性组合是正态分布.
解: X~N(1,2),Y~N(0,1),且 X 与Y 独立,
D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9
E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5
即 Z~N(E(Z), D(Z))