文档介绍：集合
元素与集合的关系
,.
德摩根公式
.
包含关系的等价条件
容斥原理(CardA是集合A中元素的个数)
.
集合的子集个数共有个;真子集有–1个;非空子集有–1个;非空的真子集有–2个.
集合A中有M个元素,集合B中有N个元素,则可以构造M*N个从集合A到集合B的映射;
二次函数,二次方程
二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
解连不等式常有以下转化形式
.
方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.
特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,
或且,
或且.
闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下表:
二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨
设,则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况:
即
图象
最大、最小值
对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论:
(1)若,则,;
(2)若,则,
另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开轴越远,则对应的函数值越小。
一元二次方程根的分布情况
分布情况
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0,一个大于0
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论)
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况,注意:用韦达定理也可以)
设方程的不等两根为且,相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
分布情况
两根都小于即
两根都大于即
一个根小于,一个大于即
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论)
表二:(两根与的大小比较)
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内
(图象有两种情况,只画了一种)
一根在内,另一根在内,
大致图象()
得出的结论
或
大致图象()
得出的结论
或
综合结论(不讨论)
——————
表三:(根在区间上的分布)
根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外,即在区间两侧,(图形分别如下)
需满足的条件是
(1)时,;
(2)时,
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:
(1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况:
若或,则此时不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为或,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间内,从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根,因为,所以,另一根为,由得即为所求;
方程有且只有一根,且这个根在区间内,即,此时由可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内,求的取值范围。分析:①由即得出;②由即得出或,当时,根,即满足题意;当时,根,故不满足题意;综上分析,得出或
定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
在给定区间的子区间(形如,,不同)上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是
.
在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(3)恒成立的充要条件是或.
简易逻辑
真值表
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有个
至多有()个
小于
不小于
至多有个
至少有()个
对所有,
成立
存在某,
不成立
或
且
对任何,
存在某,
不成立
成立
且
或
四种命题的相互关系
原命题互逆逆命题
若p则q 若q则p
互互
互为为互
否否
逆逆
否否
否命题逆否命题
若非p则非q 互逆若非q则非p
充要条件
(1)充分条件:若,则是充分条件.
(2)必要条件:若,则是必要条件.
(3)充要条件:若,且,则是充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
函数
函数的单调性
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数.
如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数