文档介绍：第三节
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
三重积分
第九章
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
在上的三重积分.
在直角坐标系下常写作
三重积分的性质与二重积分相似.
性质:
例如
下列“乘
中值定理.
在有界闭域上连续,
则存在
使得
V 为的
体积,
积和式”极限
记作
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
方法1 . 投影法(“先一后二”)
方法2 . 截面法(“先二后一”)
“一”为定积分;“二”即二重积分.
方法3 . 三次积分法
方法1. 投影法(“先一后二”)
记作
方法2. 截面法(“先二后一”)
记作
其中为三个坐标
例1. 计算三重积分
所围成的闭区域.
解:
面及平面
化三重积分为三次积分,
其中积分区域为由曲面及
所围成的闭区域.
例2.
解:
由
得交线投影区域:
故
化三重积分为三次积分,
例3.
解:
所围成的闭区域.
其中积分区域为由曲面, ,
原式
积分域为
例4. 计算三重积分
解:
用“先二后一”