文档介绍：圆心角(2)
圆
的
对
称
性
圆的轴对称性
(圆是轴对称图形)
垂径定理及其推论
圆的中心对称性
(旋转不变性)
圆心角定理
复****回顾
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角定理:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
新知探究
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
如由条件:
② AB=A′B′
⌒⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
已知:如图,AB,CD是⊙O的两
条弦,OE,OF为AB、CD的弦心距,
根据这节课所学的定理及推论填空:
A
B
C
F
D
E
O
(2)如果OE=OF,那么______________, , ;
⌒
⌒
(3)如果AB=CD,那么, , ;
(4)如果AB=CD,那么, , .
(1)如果∠AOB=∠COD,那么, , ;
OE=OF AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD
⌒
⌒
O
A
B
下面的说法正确吗?为什么?
如图, 因为
根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知:
⌒
⌒
一般地,圆有下面的性质:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量都相等.
B
E
D
A
F
C
O
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
⑴∠AOB=∠COD
⑵ AB=CD
⑶ OE=OF
⑷ AB=CD
新知归纳
例3、如图,等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC.
O
C
B
A
D
P
(1) 判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形,并说明理由.
(2) 若⊙O的半径为r, 求等边三角形ABC的边长?
例题探究
解: 连结OD,OE
例4、已知:如图, △ABC为等边三角形,以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E. 求证:
在等边三角形ABC中,∠A=60°
∵OA=OD
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°
同理∠BOE=60°
∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60°
∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE
如图,已知点O是∠EPF 的平分线上一点,P点在圆外,以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D.
求证:AB=CD .
分析: 联想到“角平分线的性质”,作弦心距OM、ON,
证明: 作, 垂足分别为M 、 N .
OM=ON
AB=CD
.
M
N
要证AB=CD ,只需证OM=ON
P
A
B
E
C
D
F
O
做一做