文档介绍：第3章多自由度线性系统的振动
振动理论及其应用
振动微分方程
特征值问题
解耦与主坐标
自由振动
强迫振动
非周期激励下的响应
3. 1 振动微分方程
第3章多自由度线性系统的振动
n个自由度的系统
分析方法
隔离体受力分析
建立广义坐标
整理后用矩阵形式表示为
应用牛顿第二定律
第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程
方程
第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程
广义位移
广义速度
广义加速度
外力向量
质量矩阵
对称、正定
方程
第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程
刚度矩阵
对称、半正定
阻尼矩阵
对称
方程
第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程
例 建立图示系统的振动微分方程
链式系统
建立广义坐标如图
第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程
影响系数
n个自由度无阻尼系统
刚度影响系数——产生单位位移所需的力,即系统仅在第j个广义坐标上产生单位位移(其他广义坐标位移为零),需要在第i个广义坐标方向所加的力kij。
柔度影响系数——单位外力所引起的系统位移,定义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广义坐标上所引起的位移为柔度系数 hij。
第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程
建立三自由度系统的振动微分方程
三自由度系统
设x1=1,x2=x3=0,则在m1上施加的力F1=1×(k1+k2),即k11= k1+k2 ;在m2上施加的力F2=-k2 × 1 =-k2 ,即k21=-k2 ;在m3上施加的力为零,即F3=0或 k31=0。
设x2=1,x1=x3=0,则在m2上施加的力F’2=1× (k2+k3),即k22= k2+k3 ;在m3上施加的力F’3=-k3 即k32=-k3 ;由刚度矩阵的对称性得 k12 =k21= -k2。
设x3=1,x1=x2=0,则在m3上施加的力F’’3=1× k3,即k33= k3 ;由刚度矩阵的对称性得 k13 =k31 = 0 , k23 =k32= -k3。
系统振动微分方程
刚度系数:产生单位位移所需的力,即系统仅在第j个广义坐标上产生单位位移(其他广义坐标位移为零),需要在第i个广义坐标方向所加的力kij。
第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程
建立三自由度系统的振动微分方程
三自由度系统
在质量m1上施加单位力,质量m1 、 m2和m3的位移: x1=1/k1 , x2=1/k1 , x3=1/k1 ,即h11= h21= k31= 1/k1 ;
振动
微分
方程
柔度系数:单位外力所引起的系统位移,定义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广义坐标上所引起的位移为柔度系数 hij。
在质量m3上施加单位力,质量m1 、 m2和m3的位移: x1=1/k1, x2=1/k1+1/k2, x3=1/k1+1/k2 +1/k3。即柔度系数x1=1/k1 , x2=1/k1+1/k2, x3= 1/k1+1/k2 +1/k3 。
在质量m2上施加单位力,质量m1 、 m2和m3的位移: x1=1/k1 , x2=1/k1+1/k2, x3= 1/k1+1/k2,即柔度系数h12= 1/k1 , h22= k32= 1/k1+1/k2,;
质量m1上加一单位力,系统位移如图(b)。
微振动时:
解出h 11:
按图(b)的比例
第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程
建立四自由度系统的振动微分方程
柔度系数:单位外力所引起的系统位移,定义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广义坐标上所引起的位移为柔度系数 hij。
弦上四质量
建立广义坐标xi,坐标原点在系静平衡时各质量的位置。
m1力平衡方程:
即: