西南财经大学高等代数课件-秩.ppt

文档介绍：不同的矩阵有相同的标准形; 一个矩阵可经行初
等变换化为不同的阶梯形矩阵, 但不同的阶梯形矩
阵中非零行的个数却是相同的.
这都是因为矩阵的本质特征——矩阵的秩.
设矩阵
称位于A的某k行、
k列的交叉点处的元素
依照其原来的相对位置
成的k阶行列式为A的k阶子式.
所构
§ 矩阵的秩
例1 设
则
是A的全部4个3阶子式;
等是A的2阶子式;
等是A的1阶子式.
定义
,则称为行满秩阵;
,则称为列满秩阵;
矩阵A的非零子式的最高阶数称作矩阵的秩. 记作
对于矩阵,显然有
,称
定义
阶方阵,若
为满秩阵.
,则称
为降秩阵.
若
命题1 矩阵A的秩为r的充要条件是A至少有一个r
阶非零子式且全部r+1阶子式(如果有的话)都等于零(从而更高阶的子式亦为零);
注1 零矩阵没有非零子式, 规定其秩为零;
命题2
设A为 m×n 矩阵, B为 n×s 矩阵, 则
R(AB) ≤ min{ R(A), R(B)}
命题3
设, 则
设U为 m×n 矩阵, V为 n×m 矩阵,且m > n
例2
证明
证
, 要求矩阵A的秩需计算多个行
列式的值.
阶梯形矩阵的秩
恰为其非零行的个数.
矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩.

面只就第(3)种初等行变换进行证明, 其余两种请同
学们下去自行证明.
D为B的任意一个r+1阶子式.
设
若D中不含有B的第i 行元素, 则D是A的r+1阶子式,
故 D=0.
若D中含有B的第i 行元素,则由行列式的性质4和性质3, D可依第i 行拆成两个行列式之和 D=D1+kD2 , 其
中D1是A的r+1阶子式,
故 D1=0,
当D中不含有B的第j 行元素时, 则D2至多与A的某
个r+1阶子式相差一个负号,从而
D=0.
当D中含有B的第j 行元素时,因D2有两行完全相同,
D=0.
综上所述
而B又可经过一次初等行变换变成A,即
故同理可证
推论矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩.
从而
证由矩阵A的秩的定义, 当然有