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高等数学部分易混淆概念
第一章:函数与极限
一、数列极限大小的判断
例1:判断命题是否正确.
若,且序列的极限存在,
解答:,:,,而.
设,且( )
B. 存在但不一定等于零
D. 一定不存在
答:选项C正确
分析:若,由夹逼定理可得,故不选A与D.
取,则,且,但不存在,所以B选项不正确,因此选C.
( )
B. 都收敛,但不一定收敛于
,也可能发散 D. 都发散
答:选项A正确.
分析:由于,得,又由及夹逼定理得
因此,,.
二、无界与无穷大
无界:设函数的定义域为,如果存在正数,使得
则称函数在上有界,如果这样的不存在,就成函数在上无界;也就是说如果对于任何正数,总存在,使,那么函数在上无界.
无穷大:设函数在的某一去心邻域内有定义(或大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数
(不论它多么大),总存在正数(或正数),只要适合不等式(或),对应的函数值总满足不等式
则称函数为当(或)时的无穷大.
例4:下列叙述正确的是: ②
如果在某邻域内无界,则
如果,则在某邻域内无界
解析:,令,当时,,而
故在邻域无界,但时不是无穷大量,则①不正确.
由定义,无穷大必无界,故②正确.
结论:无穷大必无界,而无界未必无穷大.
三、函数极限不存在极限是无穷大
当(或)时的无穷大的函数,按函数极限定义来说,极限是不存在的,但是为了便于叙述函数的性态,我们也说“函数的极限是无穷大”.但极限不存在并不代表其极限是无穷大.
例5:函数,当时的极限不存在.
四、如果不能退出
例6:,则,但由于在的任一邻域的无理点均没有定义,故无法讨论在的极限.
结论:如果,且在的某一去心邻域内满足,,
为无穷大,则为无穷小。
五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等,求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。
解:,因而时极限不存在。
,因而时极限不存在。
六、使用等价无穷小求极限时要注意:
(1)乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换,加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的,故统一不用。这时,一般可以用泰勒公式来求极限。
(2)注意等价无穷小的条件,即在哪一点可以用等价无穷小因子替换
例8:求极限
分析一:若将写成,再用等价无穷小替换就会导致错误。
分析二:用泰勒公式
原式。
例9:求极限
解:本题切忌将用等价代换,导致结果为1。
七、函数连续性的判断
(1)设在间断,在连续,则在间断。而在可能连续。
,,则在间断,在连续,
在连续。
若设,在间断,但在均连续。
(2)“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件。
分析:由“若,则”可得“如果,则”,因此,在点连续,则在点连续。再由例10可得,