文档介绍：《线性代数》复****br/>崔洪泉
题型:填空题;选择题;计算题;证明题;
几个专题
(一)行列式:
(P );
;
(P );
(列)展开及其推论(P )
注:各类行列式的计算
化三角形法,全相加法,按行列展开法,递推法。
(二)方阵可逆的定义及其等价条件:
1.(P );
2.(或)(P );
3.(即非奇异)(P );
(即满秩)(P );
(P );
(P );
7.(为初等矩阵,)(P );
8.~(即与等价)(P );
(行)向量组线性无关(P );
(P );
11.()正定(P )
(:由知对称。若可逆,则对任何,
成立,故,即正定。
:若正定,则对任何,成立
,即,从而可逆。)
(三)的逆矩阵计算:
;或由解出的第列;
2.(P );
3.(P )
(四)有关秩的结论:
1.(P );
2.(P );
,则(P );
,可逆,则(P );
5.(P );
(若用分别表示的列阶梯型,,后者的非零列数为,故其秩不会超过)
6.(P );
(, 所以)
7.(P );
8. 若非奇异,则(P );
8.(通过与同解);
,则(P );
(行)向量组的秩(P )
(P ),向量组的秩(P ),二次型的秩(P )
线性变换的秩(P )的定义
注:矩阵的秩及其最高阶非零子式的计算,向量组的秩,极大无关组的计算以及向量组的其它向量用极大无关组表示的问题
(五)向量组线性相关性的结论:
矩阵的秩(P );
,个维向量必线性相关(P );
,特别含零向量的向量组线性相关(P
);
4.()线性相关至少其中有一个向量可用其余个向量线性表示(P );
(P );
(P )
注:线性相关性的判定和证明
(六)与线性方程组解有关的结论:
(P );
特别,若的行数小于,则必有非零解;
(解空间);若,则解空间的维数,设是基础解系,那么的通解为(P );
(P );
特别,若的行向量组线性无关,则必有解(因为此时增广矩阵的行向量组线性无关);
4. 元非齐次线性方程组有解可以由的列向量组线性表示与等价;
,唯一解对应,无限多解对应。在无限多解的情况下的通解为
,其中是的基础解系,是的特解(P );
,则元非齐次线性方程组有个线性无关解(P );
,并令,那么是的解
(),又若令,那么是的解
注:线性方程组解的讨论和具体计算
(七)方阵正交的定义及其等价条件:
1.(或)(P );
2.(P );
(利用与互推);
(行)向量都为单位向量且两两正交(P );
;
(:可逆由定义得到,正交由2,3得到
:正交)
,成立
(:。
:记,
则,,故,从而。)
(八)对称矩阵为正(负)定的定义及其等价条件:
,成立(P );
(负)(P )
(或用正(负)惯性指数);
(负)(P );
(奇数阶为负,偶数阶为正)(P );
(负)定(利用与特征值同号);
(正)定(按定义推得)
注:半正(负)定问题
(九)特征值和特征向量的性质及其计算
例如:特征值的两个等式关系(P );
与,与的特征值和特征向量的关系(P );
不同特征值的特征向量的线性相关性问题;
对称矩阵不同特征值的特征向量的正交性问题
(十) 化二次型为标准形
(配方法,初等变换法,正交变换法)
(十一)几种矩阵关系
,矩阵等价的不变量(秩),矩阵标准形;
,矩阵相似的不变量(特征值),可对角化问题,约当标准形;
,矩阵合同的不变量(有定性)
(十二)线性空间(向量空间)和线性变换
(向量空间);
,不同基下的坐标变换;
,同一线性变换在不同