文档介绍：函数的奇偶性
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在日常生活中,有非常多的轴对称现象,如人与镜中的影关于镜面对称,请同学们举几个例子。
除了轴对称外,有些是关于某点对称,如风扇的叶子,如图:
它关于什么对称?
而我们所学****的函数图像也有类似的
对称现象,请看下面的函数图像。
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观察下面两组图像,它们是否也有对称性呢?
x
y
O
1
-1
f(x)=x2
(1)
(2)
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例如:对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1)
f(-2)= -f(2)
f(-x)= - f(x)
-x
x
结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)
滑紊哨略灶矿亦亲淀喻矮冲褥诅董障批乱镐凋湃喉协储毯埠浚帘堡佯柔鹃函数的奇偶性函数的奇偶性
-x
x
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
而函数f(x)=x2 , 却是另一种情况,如下:
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-x)=(-x)2=x2
f(-1)=f(1)
f(-2)=f(2)
f(-x)=f(x)
结论:当自变量x任取定义域
中的一对相反数时,对应的
函数值相等,即f(-x)=f(x)
而函数f(x)=x2,却是另一种情况,如下:
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函数奇偶性的定义:
偶函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,
都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.
奇函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.
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对于奇、偶函数定义的几点说明:
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立,
即:若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。
若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
(4)函数f(x)为奇函数<==> 函数f(x)图像关于原点对称。
函数f(x)为偶函数<==> 函数f(x)图像关于y轴对称。
(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则必有f(0)=0,即函数图象必过原点。
(1) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就
是说函数f(x) 具有奇偶性。
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练****说出下列函数的奇偶性:
①f(x)=x4 ________
③ f(x)=x ________
④ f(x)=x -2 __________
⑤ f(x)=x5 __________
⑥f(x)=x -3 _______________
② f(x)= x -1 __________
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数,在定义域R内:
若n为偶数,则它为偶函数。
若n为奇数,则它为奇函数。
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例1. 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2+a
解: 定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+(-x)
= -x3-x
= -(x3+x)
即 f(-x)= - f(x)
∴f(x)为奇函数
解: 定义域为R
∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a
=3x4+6x2 +a
即 f(-x)= f(x)
∴f(x)为偶函数
说明:用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求出定义域,看定义域是否关于原点对称.
⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.
啪猿载浩撂前呛奠搏峻割踢舀蛇帝捻栅梨故凌瑰织战掀寒懒岭腻裙斤重侯函数的奇偶性函数的奇偶性
思考1:函数f(x)=2x+1是奇函数吗?是偶函数吗?
x
y
0
1
2
f(x)=2x+1
-1
分析:函数的定义域为R
但是f(-x)=2(-x)+1