文档介绍：导数压轴题型归类总结
目录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用(1)
二、交点与根的分布(23)
三、不等式证明(31)
(一)作差证明不等式
(二)变形构造函数证明不等式
(三)替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围(51)
(一)恒成立之最值的直接应用
(二)恒成立之分离常数
(三)恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用(70)
六、导数应用题(84)
七、导数结合三角函数(85)
书中常用结论
⑴,变形即为,其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.
⑵
⑶
⑷.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
(切线)设函数.
(1)当时,求函数在区间上的最小值;
(2)当时,曲线在点处的切线为,与轴交于点求证:.
解:(1)时,,由,解得.
的变化情况如下表:
0
1
-
0
+
0
↘
极小值
↗
0
所以当时,有最小值.
(2)证明:曲线在点处的切线斜率
曲线在点P处的切线方程为.
令,得,∴
∵,∴,即.
又∵,∴
所以.
(2009天津理20,极值比较讨论)
已知函数其中
⑴当时,求曲线处的切线的斜率;
⑵当时,求函数的单调区间与极值.
解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴
⑵
以下分两种情况讨论:
①>,则<.当变化时,的变化情况如下表:
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
②<,则>,当变化时,的变化情况如下表:
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
已知函数
⑴设两曲线有公共点,且在公共点处的切线相同,若,试建立关于的函数关系式,并求的最大值;
⑵若在(0,4)上为单调函数,求的取值范围。
(最值,按区间端点讨论)
已知函数f(x)=lnx-.
(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值.
解:(1)由题得f(x)的定义域为(0,+∞),且 f ′(x)=+=.
∵a>0,∴f ′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知:f ′(x)=,
①若a≥-1,则x+a≥0,即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)min=f(1)=-a=,∴a=- (舍去).
②若a≤-e,则x+a≤0,即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,
∴f(x)min=f(e)=1-=,∴a=-(舍去).
③若-e<a<-1,令f ′(x)=0,得x=-a.
当1<x<-a时,f ′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数;
当-a<x<e时,f ′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=⇒a=-.
综上可知:a=-.
(最值直接应用)已知函数,其中.
(Ⅰ)若是的极值点,求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若在上的最大值是,求的取值范围.
解:(Ⅰ).
依题意,令,解得. 经检验,时,符合题意.
(Ⅱ)解:①当时,.
故的单调增区间是;单调减区间是.
②当时,令,得,或.
当时,与的情况如下:
↘
↗
↘
所以,的单调增区间是;单调减区间是和.
当时,的单调减区间是.
当时,,与的情况如下:
↘
↗
↘
所以,的单调增区间是;单调减区间是和.
③当时,的单调增区间是;单调减区间是.
综上,当时,的增区间是,减区间是;
当时,的增区间是,减区间是和;
当时,的减区间是;
当时,的增区间是;减区间是和.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知时,在上单调递增,由,知不合题意.
当时,在的最大值是,
由,知不合题意.
当时,在单调递减,
可得在上的最大值是,符合题意.
所以,在上的最大值是时,的取值范围是.
(2010北京理数18)
已知函数=ln(1+)-+(≥0).
(Ⅰ)当=2时,求曲线=在点(1,(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间.
解:(I)当时,,
由于,,
所以曲线在点处的切线方程为
即
(II),.
当时,.
所以,在区间上,;在区间上,.
故得单调递增区间是,单调递减区间是.
当时,由,得,
所以,在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是.
当时, 故得单调递增区