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文档介绍：线性多步法
基于Taylor展开的方法
基于Taylor展开的方法
基于数值积分的方法
线性多步法
常微分方程初值问题()的数值解法中,除了Runge-Kutta型公式等单步法之外,还有另一种类型的解法,即某一步的公式不仅与前一步解的值有关,而且与前若干步解的值有关,利用前面多步的信息预测下一步的值,这就是多步法的基本思想,可以期望获得较高的精度。构造多步法有多种途径,下面先讨论基于数值积分的方法。
基于数值积分的方法
将()中的方程在区间上积分,可以得到
()
如推导Newton-Cotes求积公式一样,用等距节点的插值多项式来替代被积函
数,再对插值多项式积分,这样就得到一系列求积公式。
例如,用梯形方法计算积分项
代入()式有
据此即可导出公式()。
一般地,设由个数据点
构造插值多项式,这里, 。运用插值
公式有
将()离散化即得下列计算公式
()
其中
由此可得()中的系数,其具体数值见表8-6。公式()是一个r+1
步的显式公式,称为Adams显式公式。r=0时,即为Euler公式。
可见,三秒末跳伞员的末速度约有 21 。
若将模型修改为 p=,取 h=,则有计算结果:
可见三秒末跳伞员的末速度减慢了。计算结果如下图所示
+ 表示 p=1时的解,* 表示 p=
在上述Adams显式公式的推导中,选用了作为插值
节点。这样的插值多项式在求积区间上逼近是一
个外推结果。为了改善逼近效果,我们变外推为内推,即改用
为插值节点,用数据点构造插值
多项式,则有
于是我们有如下的计算公式