文档介绍：不等式·不等式的应用(2)——最值问题·教案
教学目标
,两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一定理,即平均值定理.
,求某些问题的最值.
,以及对数学思想方法的理解和运用,提高学生灵活运用所学知识解决问题的能力.
教学重点与难点
平均值定理适用的条件,及其变形使用.
教学过程设计
(一)不等式平均值定理的功能
师:不等式平均值定理的内容是::
如果a1,a2,a3,…,an∈R+且n∈N+,n>1,那么
(教师板书)
师:由两个不等式的结构来看,它们的功能是:从左往右可以把和的形式缩小为积的形式;,通常把不等式变形为
从而求出最小值.
(教师板书)
解:由x>1,知x-1>
值)④,当且仅当a=b=c时,取“=”号.
不等式③,④可以在求函数的最小值时使用.
例2 中对函数式的运算结构稍做变化,就可以使用定理了.
例3 填空题:
生乙:我的做法与甲同学不一样.
由于x>0,则
如果学生的板书有漏洞或错误,教师可以边纠正,边总结应用平均值定理求函数最值的步骤.
如果学生板书没有问题,.
应用平均值定理求函数的最值,要注意的问题有:
(1)函数式中诸元素是否为正数;
(2)诸元素的和或积是否为定值;
(3)判断“=”是否成立.
(三)灵活运用平均值定理求最值
师:此题为三角函数求最值的问题,应从何处入手?
解:由于x,y为正数,则6x,5y也是正数,所以
师:换元法是常用的数学思想方法,能帮助我们把复杂问题简单化.
(四)不等式在应用问题中的应用
例7 已知:长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高各是多少时,它的体积最大,求出这个最大值.
师:经过审题可以看出,.
生:设长方体体积为y,其长、宽、高分别为a,b,c,则y=+b+c不是定值,所以肯定要对函数式进行变形.
生:我受例4的启发,发现可以利用平均值定理先求出y2的最大值,这样y的最大值也就可以求出来了.
解法如下:
解:设长方体的体积为y,长、宽、高分别是为a,b,c,则
y=abc,2ab+2bc+2ac=S.
而
y2=(abc)2=(ab)(bc)(ac)
当且仅当ab=bc=ac,即a=b=c时,上式取“=”号,y2有最小值
师:对应用问题的处理,关键是把实际问题转化成数学问题,列好函数关系式是求最值的基本保证。
(五)布置作业:
:
(1)设a,b为实数,且a+b=3,那么2a+2b的最小值是
[ ]。
(2)设a>0