文档介绍：必修1第一章集合与函数基础知识点整理
第1讲§ 集合的含义与表示
¤学****目标:通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
¤知识要点:
1. 把一些元素组成的总体叫作集合(set),其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性.
2. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,基本形式为,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法,即用集合所含元素的共同特征来表示,基本形式为,既要关注代表元素x,也要把握其属性,适用于无限集.
3. 通常用大写拉丁字母表示集合. 要记住一些常见数集的表示,如自然数集N,正整数集或,整数集Z,有理数集Q,实数集R.
4. 元素与集合之间的关系是属于(belong to)与不属于(not belong to),分别用符号、表示,例如,.
¤例题精讲:
【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)由方程的所有实数根组成的集合;
(2)大于2且小于7的整数.
解:(1)用描述法表示为:;
用列举法表示为.
(2)用描述法表示为:;
用列举法表示为.
【例2】用适当的符号填空:已知,,则有:
17 A; -5 A; 17 B.
解:由,解得,所以;
由,解得,所以;
由,解得,所以.
【例3】试选择适当的方法表示下列集合:(教材P6 练****题2, P13 A组题4)
(1)一次函数与的图象的交点组成的集合;
(2)二次函数的函数值组成的集合;
(3)反比例函数的自变量的值组成的集合.
解:(1).
(2).
(3).
点评:以上代表元素,分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为,也注意对比(2)与(3)中的两个集合,自变量的范围和函数值的范围,有着本质上不同,分析时一定要细心.
*【例4】已知集合,试用列举法表示集合A.
解:化方程为:.应分以下三种情况:
⑴方程有等根且不是:由△=0,得,此时的解为,合.
⑵方程有一解为,而另一解不是:将代入得,此时另一解,合.
⑶方程有一解为,而另一解不是:将代入得,此时另一解为,合.
综上可知,.
点评:运用分类讨论思想方法,研究出根的情况,从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.
第2讲§ 集合间的基本关系
¤学****目标:理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义;能利用Venn图表达集合间的关系.
¤知识要点:
1. 一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,则说两个集合有包含关系,其中集合A是集合B的子集(subset),记作(或),读作“A含于B”(或“B包含A”).
2. 如果集合A是集合B的子集(),且集合B是集合A的子集(),即集合A与集合B的元素是一样的,因此集合A与集合B相等,记作.
3. 如果集合,但存在元素,且,则称集合A是集合B的真子集(proper subset),记作AB(或BA).
4. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set),记作,并规定空集是任何集合的子集.
5. 性质:;若,,则;
若,则;若,则.
¤例题精讲:
【例1】用适当的符号填空:
(1){菱形} {平行四边形}; {等腰三角形} {等边三角形}.
(2) ; 0 {0}; {0}; N {0}.
解:(1), ;
(2)=, ∈, ,.
B
A. B. C. D.
【例2】设集合,则下列图形能表示A与B关系的是( ).
解:简单列举两个集合的一些元素,,,
易知BA,故答案选A.
另解:由,易知BA,故答案选A.
【例3】若集合,且,求实数的值.
解:由,因此,.
(i)若时,得,此时,;
(ii)若时,得. 若,满足,解得.
故所求实数的值为或或.
点评:在考察“”这一关系时,不要忘记“”,因为时存在. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax2}. 若A=B,求实数x的值.
解:若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0,即a=0或x=1.
当a=0时,集合B中的元素均为0,故舍去;
当x=1时,集合B中的元素均相同,故舍去.
若2ax2-ax-a=0.
因为a≠0,所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1,所以只有.
经检验,此时A=B成立. 综上