文档介绍：结构可靠度分析与设计的编程实践
摘要:本文根据结构可靠度分析与设计的基本原理,选用了MATLAB语言,编写计算机程序,对课程中所给出的例题进行编程实现,并给出结果展示。
引言
已建结构的可靠性理论产生于20世纪70年代发达国家维修改造业迅速发展时期,研究内容主要集中于已建结构的损伤评估、模式识别和可靠性评价。1994年美国的姚治平和德国的Natke对已建结构的损伤检测及可靠性评价作了更深入的研究。现有的国际标准和一些国家的标准都可用可靠性指标β来度量结构的可靠性。它是结构可靠性分析中的又一重要概念。求解结构的可靠性指标是一个非常复杂的问题,这是由于影响结构可靠性的因素繁杂,而且各因素之间相互影响。文中引入了验算点法和JC法,主要是介绍用MATLAB来实现这两种算法的程序。
结构可靠度分析的基本原理
结构可靠度分析建立的结构可靠与不可靠的界限,称为极限状态。我国将极限状态分为承载能力极限状态(包括条件极限状态)和正常使用极限状态两类。承载能力极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载能力或出现不适于继续承载的变形;正常使用极限状态对应于结构或结构构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限值;条件极限状态也称破坏-安全极限状态,对应于已局部出现破坏的结构的最大承载能力。
结构的极限状态可用下列极限状态方程描述:
式中:,是指结构上各种作用或作用效应、材料性能、几何参数等.
其中,结构的功能函数或功效函数为:
对于承载努力极限状态,若令为结构抗力,为作用综合效应,则有
式中:,结构处于可靠状态;,结构处于失效状态;,结构处于极限状态。
根据结构的极限状态和功能函数可得结构的可靠度(即可靠概率)和失效概率
用概率干涉法计算的公式为:
由于功能函数中有许多个若用概率干涉法,直接计算则十分复杂,而且不一定能计算出。
若令,则可用近似计算,其中为结构可靠度指标,本文中基于验算点法和JC法用MATLAB进行编程计算。
验算点法
功能函数为线性函数
功能函数随机变量是一个正态随机变量,其概率密度函数和U的密度曲线如图1示
图1 一个随机变量时的可靠指标(左图为正态随机变量,右图为标准正态随机变量)
假定存在n个相互独立的随机变量,,其均值为,标准差为结构功能函数为:
(1)
其中为常数
将随机变量变换为标准正态随机变量
则由(1)表示的功能函数表示成
从而功能函数的平均值和标准差表示为
按照严格的可靠度指标定义
(3)
可靠度指标和结构失效概率存在精确的对应关系
对极限状态方程
两端同时除以得到:
(4)
与公式(3)比较,有
(5)
令
公式(5)可以写成:
(6)
公式(6)表示的是一法线式的直线方程,为法线与坐标轴夹角余弦
图2 可靠度指标的几何意义及验算点
验算点在空间(标准正态空间)表示为:
在空间表示为:
两者之间的关系为:
根据几何关系有:
在空间,验算点坐标值:
通常表示为:
假定随机变量服从正态分布,但结构功能函数不再是线性函数,显然,这时精确
求解的平均值和标准差是非常困然的。同结构功能函数为非线性的情形一样,如果将可靠指标定义为标准正态坐标系中坐标原点到极限状态曲面的距离,垂足为验算点,则不管结构极限状态方程的数学表达形式如何,只要具有相同的力学或物理含义,在标准正态坐标系中,所表示的都将是同一个曲面,曲面上与坐标原点距离最近的点也只有一个。因而,所得到的可靠指标是唯一的,不像中心点法那样,随结构极限状态方程数学表达式的形式而变。
图3验算点取法
如果验算点已知
可以在该点一次项展开:
其均值和标准差为:
所以可靠度指标:
实际上验算点不可知,需要补充条件:
对比表达式得到:
JC法
验算算点法的特点是能够考虑非正态的随机变量,在计算工作量增加不多的条件下,可对可靠指标进行精度较高的计算。
对于极限状态方程中包含非正态分布的随机变量的情形,在进行其可靠度分析时,一般要把非正态随机变量当量化为正态随机变量。当量正态化方法即为JC法。它的基本思想就是:①在设计验算点处,当量正态随机变量(其均值,标准差为)的分布函数值与原随机变量(其均值,标准差为)的分布函数值相等;②在设计验算点处,当量正态随机变量(其均值,标准差为)的概率密度函数值与原随机变量(其均值,标准差为)的概率密度函数值相等。
下面详细介绍一下验算点法的具体步骤。
引入标准正态随机变量,令:
i=1,2,…,n
极限状态方程可表示为
定义方向余弦:
其中,表示标准正态空间内极限状态曲面的切平面的法线垂足,