文档介绍：第十二讲解三角形
1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);
3、三角形中的基本关系:
4、正弦定理:在中,、、分别为角、、的对边,为的外接圆的半径,则有.
5、正弦定理的变形公式:
①化角为边:,,;
②化边为角:,,;
③;④.
7、余弦定理:在中,有等,变形: 等,
8、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。②已知三边求角)
9、三角形面积公式:.
10、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式设、、是的角、、的对边,则:
①若,则;②若,则;③若,则.
11、三角形的四心:
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1)
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等)
内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等)
坡角:坡面与水平面的夹角(如图④,角θ为坡角).
坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡比).
1. △ABC中,,,,则最短边的边长等于( )
A B C D
2. △ABC中,,则△ABC一定是( )
A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
3.△ABC中,若,,则等于( )
A 2 B C D
4. △ABC中,,的平分线把三角形面积分成两部分,则( )
A B C D
△ABC中,已知,,则最大边的取值范围是。
一、利用正弦、余弦定理解三角形
【例1-1】(2012辽宁高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,,B,C成等差数列.
(1)求cos B的值;
(2)边a,b,c成等比数列,求sin Asin C的值.
【例1-2】△ABC中,A,B,C所对的边为a,b,c,tan C=,sin(B-A)=cos C.
(1)求A,C;
(2)若S△ABC=3+,求a,c.
二、三角形形状的判定
【例2-1】△ABC满足sin B=cos Asin C,则△ABC的形状是( ).
【例2-2】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
三、与三角形面积有关的问题
【例3】在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.
(1)若△ABC的面积等于,求a,b;
(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积.
△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b, A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=( ).
A.- B. C.-1
△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且acos B=bcos A,则△ABC的形状为____.
3.(2014福建高考)在△ABC中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,BC