文档介绍：第五章谐波小波原理及其工程应用
小波分析中被广泛使用的 Daubechies 类小波与样条小波都是实小波,它们没有明确
的解析式,对信号的小波分解是通过构造相应的正交滤波器{hk}和{gk}运用 Mallat 算法
实现的。除了这两类小波,其它类型的一些小波基函数也被陆续构造出来并且得到了深
入研究和工程运用[ 1 - 4 ]。本章介绍的谐波小波是由剑桥大学 D. E. Newland 教授提出的。
谐波小波是一种复小波,在频域紧支,有明确的函数表达式,其伸缩与平移构成了 L2(R)
空间的规范正交基[ 5 ]。谐波小波分解算法是通过信号的快速傅立叶变换(FFT)及其逆
变换(IFFT)实现的,算法速度快,精度高,因而具有很好的工程应用价值。
谐波小波的定义及正交性
小波是满足允许条件的函数,如果一个小波具有完全“盒形”的频谱将是非常理想
的。从这一考虑出发,设有实偶函数 we(t)和实奇函数 wo(t) , 它们的傅利叶变换分别为
1 / 4π 2π≤|ω| < 4π
We(ω) = ( )
0 其它
i / 4π− 4π≤ω< −2π
Wo(ω) = − i / 4π 2π≤ω< 4π( )
0 其它
其中 i= − 1 ,如图 (a),(b)所示:
We(ω) Wo(ω) W(ω)
1/4π i/4π 1/2π
2π 4π
-4π-2π 0 2π 4πω-4π-2π 0 ω 0 2π 4πω
(a) We(ω) (b) Wo(ω) (c) W (ω)
图 We(ω), Wo(ω)及 W (ω)图示
则对 W (ω) = We (ω) + iWo (ω)有
5-1
1/ 2π 2π≤ω< 4π
W (ω) = ( )
0 其他
如图 (c)。W(ω)所对应的函数 w (t) = we (t) + iwo (t)由 W(ω)的傅立叶逆变换得
w (t) = {exp(i4πt) – exp(i2πt)}/ i2πt ( )
称( )式定义的函数为谐波小波( harmonic wavelet ),它是复小波,在频域紧支,且
具有完全“盒形”的频谱。其实部与虚部如图 所示:
)
))
)
t
t
(
(
w
w
(
Im
Re(
t t
( a ) 实部( b ) 虚部
图 谐波小波的实部和虚部
根据小波理论对谐波小波进行伸缩、平移就生成谐波小波函数族(j, k∈Z):
w(2jt - k) = {exp(i4π(2jt - k)) - exp(i2π(2jt - k))}⁄ i2π(2jt - k) ( )
它在时间尺度上是()被拉伸或压缩的结果,而位置会沿着时间轴运动 k 个新尺度
单位 1/ 2j。
可以证明谐波小波构成一个正交系。
设 w (t)伸缩平移得到函数族为 v(t),即
v(t) = w ( 2jt – k ) (j , k∈Z)
1/2π, j=0
1/4π, j=1
1/8π, j=2
1/16π, j=3
0
2π 4π 8π 16π 32π
图 不同层谐波小波的频谱
5-2
则 v(t)的傅利叶变换为:
+∞+∞
V (ω) = v(t)e− jω t dt = w(2 j t − k)e− jω t dt
∫−∞∫−∞
令 p= 2j t – k ,则 t = ( p+k ) / 2j , dt = 2-j dp,于是
V (ω) =1/2j e –jωk W (ω/2j)
说明随着小波层(即 j)的变大,谐波小波的频谱宽度倍增而幅值降低,如图 。
对于谐波小波 w ( t )及其伸缩族 w ( 2jt – k ) (j , k∈Z),计算它们的内积:
+∞_
< w(t),w(2jt – k) >= w(t) w(2 j t − k)dt
∫−∞
且由于傅利叶变换是 L2 保范的[ 7 ],得
< w(t),w(2jt – k) >=< W(ω),V(ω) >
+∞
= W (ω)V (ω)dω
∫−∞
当 j≠ 0,W(ω)与 V(ω)在频域中总处于不同的频段,因而总有
< w(t),w(2