文档介绍：线性代数综合练****br/>时间:120分钟
一、选择题(每小题3分,共15分):
,将A的第一列与第二列交换得B,再把B的第二列加到第三列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为( )。
(A); (B);
(C); (D)。
、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有( )。
(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关;
(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关;
(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关;
(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关。
( )。
(A)Rn中,坐标满足x1+x2+…+xn=0的所有向量;
(B)Rn中,坐标是整数的所有向量;
(C)Rn中,坐标满足x1+x2+…+xn=1的所有向量;
(D)Rn中,坐标满足x1=1,x2,…, xn可取任意实数的所有向量。
=2是非奇异矩阵A的一个特征值,则矩阵(A2)-1有一个特征值等于( )。
(A); (B); (C); (D)。
,都存在对角矩阵与它( )。
(A)合同; (B)相似; (C)等价; (D)以上都不对。
二、填空题(每小题3分,共15分)
=,矩阵B满足:ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵,E是三阶单位矩阵,则|B|= 。
,则= 。
=为正交矩阵,则= ,= 。
,且|A|≠0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。若A有特征值λ,则(A*)2+E必有特征值。
= 2x12+x22+x32+2 x1 x2+t x2 x3是正定的,则t的取值范围是
。
三、(15分)
设有齐次线性方程组:
试问取何值时,该方程组有非零解?并用一基础解系表示出全部的解。
四、(10分)
设R3的两组基为:
和,向量α=(2,3,3)T
(1)求基到基的过渡矩阵;
(2)求α关于这两组基的坐标。
五、(15分)
设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1 = -2,λ2 = 1(2重),α1=(1,1,1)T是属于λ1 = -2的特征向量。试求:
(1)属于λ2 = 1(2重)的特征向量;
(2)A的伴随矩阵A*。
六、(10分)
设二次型
通过正交变换化为:,求、。
七、(10分)
已知A ,B为n阶可逆方阵,且满足2A-1B=B-4E,其中E是n阶单位矩阵,试证:A-2E可逆。并求出(A-2E)-1=?
八、(10分)
设为阶矩阵,且,其中是中元素的代数余子式(=1,2,…,n)。试证:的伴随矩阵*的特征值是0和1,并说明各个特征值的重数。
线性代数综合练****参考答案
一、选择题:
1.(D);2(A);3.(A);4.(B););
二、填空题:
1.;2.-1;3. ±,;4.;5.-
三、解:A=
(1)当=0时,r(A)=1<4,故齐次线性方程组有非零解,其同解方程组为:
x1+x2+x3+ x4=0由此得一基础解系为:
, 故全部解为:
(其中为任意常数)……(7分)
(2)当≠0时,
当=-10时,r(A)=3<4,故齐次线性方程组也有非零解,