文档介绍：曲线积分与曲面积分
§ 第一类曲线积分
内容概要
名称
主要内容
第一类曲线积分
:
:
常用的性质
若,则
的弧长
计算
(平面曲线)
1.,,其中具有一阶连续的导数,则
,
2. , ,其中具有一阶连续的导数,则
,
3. ,,其中具有一阶连续的导数,则
,
4.,,则
计算
(空间曲线)
,,其中具有一阶连续的导数,则
常用的结论
例题分析
★★1. 计算,其中为连接,,的闭折线。
知识点:第一类曲线积分.
思路: 由三段直线段组成,故要分段积分.
解: 如图
则
,,
,,
注:利用被积函数定义在上,故总有
,
.
注:1),
对弧长的曲线积分是没有方向性的,积分限均应从小到大.
2)对段的积分可化为对的定积分,也可化为对的定积分,但段,段则只能化为对(或对)的定积分.
★★,其中为圆周.
知识点:第一类曲线积分.
思路: 为圆周用极坐标表示较简单.
解:的极坐标方程:
.
★3. 计算曲线积分,其中为曲线,
应于从到的一段弧.
知识点:第一类曲线积分.
思路: 空间曲线,用空间间曲线第一类曲线积分公式.
解:
原式= .
★★★1. 计算曲线积分,其中为球面与平面
的交线。
知识点:第一类曲线积分.
思路: 的参数方程不易求出,不好用空间间曲线第一类曲线积分公式,但满足,故总有.
解: 即
原式=
注:1)利用被积函数定义在上,故总有,是常用的一种简化运算的方法.
2) 为平面上的一个圆,圆心,半径为.
课后****题全解<br****题10-1
★1. 设在面内有一分布着质量的曲线弧L,在点处它的线密度为,用对弧长的曲线积分分别表达:
1) 该曲线弧对轴、轴的转动惯量和;
2) 该曲线弧的质心坐标和.
知识点:第一类曲线积分的概念及物理意义.
思路: 面内的一段曲线,其线密度为,则
1)线段的质量为:
2)线段关于轴和轴的静力矩为:
3)线段对轴和轴的转动惯量:,
解:由第一类曲线积分的概念及物理意义得
(1) ,
(2)
★2. 计算,其中。
解:法一:
原式=
法二:原式= .(利用性质2)
★3. 计算,其中为连接,两点的直线。
解:直线方程为:
原式=
★★,其中L为内摆线的弧。
解:摆线的参数方程为:
原式
★★5. 计算曲线积分,其中为螺旋线上相应于从到的一段弧。
解:
原式
★★6. 计算曲线积分,其中为折线,这里,,,依次为点,,,.
解:如图, 原式=
:
:,
:,
原式= .
★★7. 计算,其中为对数螺线在圆的内部。
解:依题意: 得
.
★★★8. 计算曲线积分,其中为球面与平面的交线。
解: 即
法一: 的参数方程为:
原式=
法二: 原式=
★9. .求半径为、中心角为的均匀圆弧(线密度的质心.
解:取扇形的角平分线为轴,顶点为原点建立平面直角坐标系,则
圆弧的方程为:
由图形的对称性和知,而
故质心在().
★10. 求螺旋线,对轴的转动惯量,设曲线的密度为常数.
解:
.
★11. 设螺旋形弹簧一圈的方程为,其中,它的线密度. 求:
(1) 螺旋形弹簧关于轴的转动惯量;
(2) 螺旋形弹簧的重心.
解:
(1)
.
(2)
螺旋形弹簧关于平面的静力矩分别为:
同法得:
.
,
.
提高题
★★★1. 计算,其中为正向圆周,直线及轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.
解:与在第一象限的交点为.
如图:
;
; .
则原式
★★★★2. 计算,其中为圆柱面与锥面的交线.
解:,参数方程为
又
故.(此题请核查)
§ 第二类曲线积分
内容概要
名称
主要内容
第二类曲线积分
:
:
常用的性质
(正向), 表曲面的另一方向(负向)
,则
计算
(平面曲线)
,起点,终点,其中具有一阶连续的导数,则
计算
(空间曲线)
,起点,终点,其中具有一阶连续的导数,则
例题分析
★★1. 计算,其中是为顶点的正方形的正向边界.
知识点:第一类曲面积分.
思路: 如图由四段直线段组成,故要分段积分.
解: 如图
则
变化从到
变化从到
变化从到
变化从到
.
★