文档介绍：机械测试信号处理
第六章频域分析方法
众所周知在光学领域中由于发明了三棱镜能够将日光折射成七种不同频率
的光谱后光学研究得到了飞速的发展而在信号处理中前面介绍的付里叶变换也
和三棱镜一样可把一个随机信号解析成不同频率的正弦波使信号的频域分析成
为可能可是由于计算量较大的原因直到出现快速付里叶变换 FFT 后才使
频域分析在工程领域中获得应用如今在微机上直接使用离散付里叶变换 DFT
技术也是十分方便的事频域分析成了常用的信号分析工具
本章主要以频谱分析方法为主线介绍自功率谱密度互功率谱密度倒谱
细化谱分析等一系列相关的频域分析方法
一频谱分析
1 谱密度函数的概念
1)自功率谱密度函数
从概率密度函数或概率分布函数就可得到随机振动幅值的分布特征但进行振
动分析往往要知道振动激励信号和振动响应信号所包含的频率成分对随机信号进
行频率分析一般都要用到功率谱密度函数自功率谱密度函数可以由自相关函数
推导出来
按照傅里叶变换理论假设自相关函数 R x (τ) 绝对可积则可定义
∞
1 − j ωτ
S ( ω) = R x ( τ) e d τ 6-1
2 π∫−∞
式中 j =−1 ;
圆频率
S (ω) R x (τ) 的傅里叶变换
由自相关函数性质可知对于均值为零的随机振动当时自相关函
数趋于零所以一般自相关图中曲线下的面积是有限值即 Rx (τ) 满足绝对可积
条件
据傅里叶积分理论 S (ω) 的逆变换为 R x (τ)
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∞
j ωτ
R x ( τ) = S ( ω) e d ω 6-2
∫−∞
式(6-1)与(6-2)表示的傅里叶变换对非常重要将在后面具体介绍
1
为了以后计算方便在此傅叶变换对中积分号前的系数选为与 1 如果
2 π
选 1 与 1 或 1 与 1 等也行只要乘积为 1 可根据需要选用
2π 2π 2π 2π
因为 Rx (τ) 是的偶函数而
e ± jωτ= cos ωτ± j sin ωτ 6-3
sin ωτ是的奇函数故
1 ∞
S ( ω) = R x ( τ) cos ωτ d τ 6-4
2 π∫−∞
由 R x (τ) 是实数可知 S (ω) 是的偶函数
由=0 的特殊情况就可看出函数 S (ω) 的物理意义
能量的度量
∞
2
R x ( 0 ) = ψ x = S ( ω) d ω 6-5
∫−∞
ω
在实验中常采用以赫兹(Hz)为单位的频率 f f =
2π
G( f ) = 2S( f ) ( f ≥ 0)
令(6-6)
G( f ) = 0 ( f < 0)
这里 G( f ) 叫做单边谱其中 f 为正值 S ( f ) 叫做双边谱其中 f 包括正值
与负值如图 6-1 所示由式(6-5) (6-6)得
∞∞∞
2
ψ x = 2 S (ω) d ω= G (ω) d ω= G ( f ) df (6-7)
∫0 ∫0 ∫0
上式表明随机过程的均方值等于 G( f ) df 对全部频率求和 G( f ) 乘以 df 就
df df
等于频率范围( f −, f + ) 内的均方值即 G( f ) 表示 x(t)在每单位频带内的
2 2
分量均方值所以 G( f ) 应称为均方谱密度
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G( f )
S( f )
f
图 6-1 单边谱与双边谱
由于 G( f ) 是频率的函数而且是每单位频带上均方值的大小因此它是均方
值谱密度 G( f ) 的量纲等于 x(t)量纲的平方除以赫兹 G(ω) 的量纲则等于 x(t)
量纲的平方除以弧度/秒
G( f ) 与 G(ω) 的关系可由在区间(ω,ω+ dω) 内信号的均方值相等求得
ω+dω(ω+dω) / 2π
G(ω)dω= G( f )df
∫ω∫ω/ 2π
故 G ( f ) | = 2π G (ω)
f = ω/ 2 π
在机械振动中功或能量与其振幅的平方成比例即 x2(t)可看作系统能量或
功的度量所以单边谱 G( f ) 是随机振动在单位频带内的谐波分量的能量按频率 f
分布的度量在电工学中当随机电流 I(t)流过单位电阻时均方值 I 2 (t) 就是功率
的大小故沿用此习惯 G( f ) 常被称为功率谱密度函数即 G( f ) 乘以 df 就得到
df df
频率范围( f −, f + )内的功率尽管有时 x(t)表示别的物理量人们仍从广
2 2
义上称 G