柯西不等式试题.doc

文档介绍：柯西不等式试题
、选择题(本大题共4小题)
设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则++的最大值是( )
B.
已知a+a+…+a=1,x+x+…+x=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值为( )
C.-1
若实数a,b,c均大于0,且a+b+c=3,则的最小值为
( )
C. D.
已知x,y,z均大于0,且x+y+z=++的最小值为( )

、填空题(本大题共2小题)
(2013·湖南高考)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为________.
设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则=________.
、解答题(本大题共4小题)
已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,求t=x2+4y2+z2的最小值.
已知f(x)=ax2+bx+c的所有系数均为正数,且a+b+c=1,求证:对于任何正数x1,x2,当x1·x2=1时,必有f(x1)·f(x2)≥1.
求实数x,y的值使得(y-1)2+(x+y-2)2+(2x+y-6)2取到最小值.
△ABC的三边长a,b,c,其外接圆半径为R.
求证:(a2+b2+c2)(++)≥36R2.
柯西不等式试题答案解析
、选择题
【解析】由柯西不等式得[()2+()2+()2](12+12+12)≥(++)2,∴(++)2≤3×1=3.
当且仅当a=b=c=时等号成立.
∴++.
【答案】 B
【解析】∵(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a+a+…+a)(x+x+…+x)=1×1=1.
当且仅当ai=xi=(i=1,2,…,n)时等号成立.
∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1.
故选A.
【答案】 A
【解析】∵a+b+c=1·a+1·b+1·c,且a,b,,
(1·a+1·b+1·c)2≤(12+12+12)(a2+b2+c2)
∴a2+b2+c2≥3,
当且仅当a=b=c=1时等号成立.
∴的最小值为.
【答案】 D
【解析】(x+y+z)(++)
≥(·+·+·)2=36.
∴++≥36.
【答案】 C
、填空题
【解析】∵a+2b+3c=6,∴1×a+1×2b+1×3c=6.
∴(a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥==,即a=2,b=1,c=时取等号.
【答案】 12
【解析】由柯西不等式知:25×36=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302=25×36,
当且仅当===k时取“=”.
由k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得k=.
所以=k=.
【答案】
、解答题
【解】由柯西不等式得
(x2+4y2+z