文档介绍：第四章非平稳信号处理方法的时频分析及应用
众所周知,任何信号可表示为不同频率的正弦波的迭加,经典的傅立叶分析能够完美地
描绘正弦信号。但对于不连续的信号,如语音信号,就难以正确地予以描绘[1]。传统的谱分析
提供了平均的频谱系数,这些系数只与频率有关,而与时间无关。传统谱分析要求所分析的
随机过程是平稳的,即过程的统计特性不随时间的推移而改变。然而,许多随机过程从本质
上来讲是非平稳的,例如记录下来的语音或音乐的声压信号;振动中的冲击响应信号;机组
启、停机信号等等。当然,非平稳信号的谱密度也可以用传统的谱分析方法来计算,可是所
得到的频率分量是对信号历程平均化的计算结果,并不能恰当地反映非平稳信号的特征[2][3]。
传统的快速傅里叶变换(FFT)方法是我们长期使用的有效工具,它是用平稳的正弦波作
为基函数 e j2π ft ( e j2π ft = cos 2πft + j sin 2πft )去变换信号 x(t),得到其频谱 X(f),即
÷∞+∞
X(f)= x(t)e − j2π ft dt = x(t)(e j2π ft )∗ dt ()
∫−∞∫−∞
这里∗表示共轭, j = −1 。这一变换建立了一个从时域到频域的通道。频谱 X(f) 显示了用
正弦基函数分解出包含在 x(t) 中的任一正弦频率 f 的总强度,是统计平均的结果,且没有任何
时间信息。为了克服傅立叶变换不能同时进行时频分析的不足,对于非平稳、非正弦的机电
设备动态信号的分析,必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法,才能提
供故障特征全貌,正确有效地进行故障诊断。作为非平稳时频分析比较有效的方法除了第三
章已介绍过的 Wigner-Ville 分布以外,在本章介绍短时傅立叶变换、小波变换和小波包分析等
方法的特点及其在机电设备状态监测与故障诊断中的应用。
短时傅立叶变换
如果将非平稳过程视为由一系列短时平稳信号组成,任意一短时信号就可应用式()的傅
立叶变换进行分析。1946 年,Gabor 提出了窗口傅里叶变换概念[4],用一个在时间上可滑移的
时窗来进行傅里叶变换,从而实现了在时间域和频率域上都具有较好局部性的分析方法,这
种方法称为短时傅里叶变换(Short time Fourier transform, STFT)。
设 h(t) 是中心位于τ宽度有限的时窗函数, x(t) 是通过 h(t) 所观察到的平稳信号。由加
窗信号 x(t)h* (t −τ) 的傅立叶变换便产生短时傅里叶变换
+∞+∞
* − j2πft j2πft ∗
STFTx (τ, f ) = x(t) h (t −τ) e dt = x(t)[h(t −τ)e ] dt ()
∫−∞∫−∞
这一变换将信号 x(t) 影射到时频二维平面(τ, f ) 上。这里 h(t −τ)e j2πft 是 STFT 的基函数。参
数 f 可视为傅立叶变换中的频率,傅立叶变换中的许多性质都可应用于短时傅立叶变换。这
里,窗函数 h(t) 的选取是关键。由于高斯函数的傅立叶变换仍然是高斯函数,因此,最优时
4-1
间局部化的窗函数是高斯函数。
t 2
−
1 4α
hG (t) = e ()
2 πα
这里恒有α> 0 ,图 示出了高斯窗函数的形状[18][31]。
图 高斯函数,α= 1, 1/4, 1/16
考虑到短时傅立叶变换区分两个纯正弦波的能力,当给定了时窗函数 h(t) 和它的傅立叶
变换 H ( f ) ,则带宽∆f 为
f 2 H ( f ) 2 df
2 ∫
(∆f ) = ()
∫ H ( f ) 2 df
这里分母是信号 h(t) 的能量。如果两个正弦波之间的频率间隔大于∆f ,那么这两个正弦波就
能够被区分开。可见 STFT 的频率分辨率是∆f 。同样,时域中的分辨率∆t 为
t 2 h(t) 2 dt
2 ∫
(∆t) = ()
∫ h(t) 2 dt
这里分母是信号 h(t) 的能量。如果两个脉冲的时间间隔大于∆t ,那么这两个脉冲就能够被区
分开。STFT 的时间分辨率是∆t 。
然而,时间分辨率∆t 和频率分辨率∆f 不可能同时任意小,根据 Heisenberg 不确定性原
理,时间和频率分辨率的乘积受到以下限制
1
∆t∆f ≥()
4π
上式中,当且仅当采用了高斯窗函数,等式成立。式