文档介绍：通常是指与随机变量有关的,虽然不能完整地刻划随机变量,但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。
随机变量的数学期望;
随机变量的方差;
本章内容:
数字特征
第三章随机变量的数字特征
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定义设离散型随机变量X的概率分布为
P{X = xk }= pk , k =1,2,3…
若级数
,则称级数和
为随机变量 X 的数学期望(或均值),
记作E(X)
随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的,而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响,因此要求
否则,称随机变量的数学期望不存在.
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解易知
X -1 3
P
例1 设随机变量X的分布列为
求
若将此例视为甲、乙两队“比赛”,,,并且甲队每赢一次得3分,每输一次扣1分,则 E(X) = 是指甲队平均每次可得分.
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定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分
说明:如果积分不收敛,则称随机变量X的数学期望不存在。
收敛,则称积分值为X的数学期望(或均值)。记作E(X),
2. 连续型随机变量的数学期望
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试证X的数学期望不存在.
证因为
例2 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为
即不收敛,所以X的数学期望不存在.
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求X的数学期望(page 56).
例3 设随机变量X的概率密度函数为
解
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3. 随机变量函数的数学期望
如果级数
收敛,则有
定理3 设X是随机变量,Y = g(X)是X的连续函数,则有
(1) 若为离散型变量,其概率函数为
(2)如果X为连续型随机变量,其概率密度为 f(x),
如果积分收敛
则有
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求E(X2)及E(2X-1).
设随机变量X的概率密度函数为
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证可将C看成离散型随机变量,分布律为 P{X=C}=1,故由定义即得E(C)=C.
2. 设C为常数,X为随机变量,则有E(CX)=CE(X).
证设X的密度函数为,则有
3. 设为任意两个随机变量,都有
1. 设C为常数,则有E(C)=C.
4. 数学期望的性质
4. 设X, Y为相互独立的随机变量,则有
注:3、4可以推广到有限个的情形
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解:
二项分布的均值
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