文档介绍：竞赛辅导
数列(等差数列与等比数列)
数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中经常出现的
问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。
所谓数列,就是按一定次序排列的一列数。如果数列{an}的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。
从函数角度看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
为了解数列竞赛题,首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式,把握它们之间的(同构)关系。
一、等差数列
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。等差数列{an}的通项公式为:
前n项和公式为:
从(1)式可以看出,是的一次数函()或常数函数(),()排在一条直线上,由(2)式知,是的二次函数()或一次函数(),且常数项为0。在等差数列{ }中,等差中项: 且任意两项的关系为:
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式,前项和公式还可推出:
若
二、等比数列
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母表示。等比数列{an}的通项公式是:
前项和公式是:
在等比数列中,等比中项:
且任意两项的关系为
如果等比数列的公比满足0<<1,这个数列就叫做无穷递缩等比数列,它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为:
从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出:
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂,则{}是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质,公式;而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧,也是极其珍贵的,诸如“倒排相加”(等差数列),“错位相减”(等比数列)。
数列中主要有两大类问题,一是求数列的通项公式,二是求数列的前n项和。
三、范例
设ap,aq,am,an是等比数列{an}中的第p、q、m、n项,若p+q=m+n,
求证:
证明:设等比数列{}的首项为,公比为q,则
说明:这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积,
即:a1+k·an-k=a1·an
对于等差数列,同样有:在等差数列{ }中,距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。
即:a1+k+an-k=a1+an
{}中,a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a9-a10=
D28
解:由a4+a12=2a8,a6+a10 =2a8及已知或得
5a8=120,a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。
故选C
{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )
+a101>0 B. a2+a100<0 +a99=0 =51
[2000年北京春季高考理工类第(13)题]
解:显然,a1+a2+a3+…+a101
,S9=18,,Sn=336,则为( )
D8
{}满足,且>0,为其前项之和,则
中最大的是( )。(1995年全国高中联赛第1题)
(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
所以:S19=S20最大,选(C)
注:也可用二次函数求最值
,项数不少于3,且各项的和为972,则这样的数列共有( )
(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个
[1997年全国高中数学联赛第3题]
解:设等差数列首项为,公差为,则依题意有:
因为是不小于3的自然数,97为素数,故数的值必为2×972的约数(因数),它只能是97,2×97,972,2×972四者之一。
若,则由(*)式知2×972≥故只可能有=97,(*)式化为:,这时(*)有两组解:
或
若,则(*)式化为:,这时(*)也有两组解。
或
故符