文档介绍：对于一个常微分方程:
通常会有无穷个解。如:
因此,我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出,如下面的初值问题:
为了使解存在唯一,一般,要加限制条件在f上,要求f对y满足Lipschitz条件:
库文档分享
常微分方程的解是一个函数,但是,计算机没有办法对函数进行运算。因此,常微分方程的数值解并不是求函数的近似,而是求解函数在某些节点的近似值。
例:我们对区间做等距分割:
设解函数在节点的近似为
由数值微分公式,我们有
,则:
向前差商公式
可以看到,给出初值,就可以用上式求出所有的
库文档分享
基本步骤如下:
③解差分方程,求出格点函数
①对区间作分割:
求在上的近似值。
称为分割
上的格点函数
②由微分方程出发,建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足:
A、解存在唯一;B、稳定,收敛;C、相容
数值方法,主要研究步骤②,即如何建立差分方程,并研究差分方程的性质。
这种方法,称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上,求未知函数y在这些
点上的值的近似。
我们的目的,就是求这个格点函数
库文档分享
为了考察数值方法提供的数值解,是否有实用价值,需要知道如下几个结论:
①步长充分小时,所得到的数值解能否逼近问题得真解;即收敛性问题
②误差估计
③产生得舍入误差,在以后得各步计算中,是否会无限制扩大;稳定性问题
库文档分享
Euler公式
做等距分割,利用数值微分代替导数项,建立差分方程。
1、向前差商公式
所以,可以构造差分方程
称为局部截断误差。显然,这个误差在逐步计算过程中会传播,积累。因此还要估计这种积累
库文档分享
定义
在假设 yi = y(xi),即第 i 步计算是精确的前提下,考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差/* local truncation error */。
定义
若某算法的局部截断误差为O(hp+1),则称该算法有p 阶精度。
记为
2、收敛性
考察局部误差的传播和积累
库文档分享
库文档分享
称为整体截断误差
是1阶方法
库文档分享
3、稳定性-误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用
我们考虑一种简单情况,即仅初值有误差,而其他计算步骤无误差。
设
是初值有误差后的计算值,则
所以,我们有:
可以看出,向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小,以后各步的误差
也充分小
库文档分享
4、向后差商公式
是隐格式,要迭代求解
可以由向前差商公式求出
库文档分享