文档介绍：二、无界函数广义积分的收敛判别法
广义积分
无穷限的广义积分
无界函数的广义积分
一、无穷限广义积分的收敛判别法
§2 广义积分的收敛判别法
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一、无穷限广义积分的收敛判别法
定理1.
若函数
证:
根据极限收敛准则知
存在,
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(Cauchy收敛原理)
定理 2.
证:利用无穷限广义积分收敛的定义以及极限存在的Cauchy准则即得。
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柯西(Cauchy,Augustin Louis 1789-1857),
十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生
于巴黎。在大学毕业后当土木工程师,因数学上的成
就被推荐为科学院院士,同时任工科大学教授。后来
在巴黎大学任教授,一直到逝世。在代数学上,他有
行列式论和群论的创始性的功绩;在理论物理学、光
学弹性理论等方面,也有显著的贡献。他的特长是在
分析学方面,他对微积分给出了严密的基础。他还证
明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存
在定理。
1821年,在拉普拉斯和泊松的鼓励下,柯西出版了《分析教程》、《无
穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作。他
给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基
础上。
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定理3 . (比较原理)
且对充
, 则
证: 不失一般性,
因此
单调递增有上界函数,
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说明: 已知
得下列比较判别法.
极限存在,
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定理4. (比较判别法 1)
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例1. 判别广义积分
解:
的收敛性.
由比较判别法 1 可知原积分收敛.
思考题: 讨论广义积分
的收敛性.
提示: 当 x≥1 时, 利用
可知原积分发散.
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定理5. (极限判别法1)
则有:
1) 当
2) 当
证: 1)
根据极限定义,
对取定的
当 x 充
分大时, 必有
, 即
满足
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2) 当
可取
必有
即
注意:
此极限的大小刻画了
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